第1讲 直线与圆
一、填空题
1．(2015·广东卷改编)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方
程是________．
|0＋0＋c|
解析 设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝5，解得c＝±5，
222＋1所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
答案 2x＋y±5＝0
2．(2015·北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．
解析 因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2
12＋12＝2，则该
3．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋
1)2＝4截得的弦长为________．
解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2. 圆心到直线的距离d＝
|2＋2×（－1）－3|
1＋4
2
35
＝5，
所以弦长为2答案
2555 r－d＝2
2
2
?35?2255
?＝2－?
5. ?5?
4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3，5)的最长弦和最短弦分
别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．
解析 配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3，4)，半径为r＝5，则过点(3，5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2
r2－12＝46，且有AC⊥BD，
1
则四边形ABCD的面积为S＝2AC×BD＝206.
答案 206
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝
________．
解析 x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a，0)，半径为
2
2
2
2
6＋a2，两圆公
6＋a?
2?
1
共弦所在方程为(x＋y＋2ax－6)－(x＋y)＝－4，即x＝a，所以有??2?1?2
－?a＋a?＝(3)，解得a＝1或－1(舍去)． ??
答案 1
2
6．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，
若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，设圆心C(4，0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝
|4k－2|k＋1
2
，由题意知问题转化为d≤2，即d＝
|4k－2|k＋1
2
≤2，得
440≤k≤3，所以kmax＝3.
4答案 3 7．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得
∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析 由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0，1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．
答案 [－1，1]
8．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB
是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为________．
解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OA＝OB＝1，根据勾股定理得AB＝2，
12∴OC＝2AB＝2. ∴圆心到直线的距离为
2＝2，
2a2＋b21
1
即2a2＋b2＝2，即a2＝－2b2＋1≥0.
∴－2≤b≤2.则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d＝＝
a＋b－2b＋1＝2
2
（a－0）2＋（b－1）2
12
2b－2b＋2.
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