一、填空题 共30分，每题2分。
1、概率论中最基本的两个概念是 随机事件 与 样本空间 。 2、某城市一天内的用水量的随机实验的样本空间Ω={χ|χ≥0}
3、10件产品全是合格品与10件产品中只有一件是次品，这对事件的关系是互不相容 。
4、设P（A）=0.4，P（A∪B）=0.6，且A与B互不相容，则P（B）= 0.2 5、设P（A）=0.3，设P（B）=0.4，P（A∪B）=0.5，则P（A∪B ）=0.8 6、抛掷两枚硬币至少出现一个反面的概率是 3/4 。
7、10件产品中有2件次品，任取2件，则2件都是次品的概率为 1/49 。 8、10件产品中有4件次品，任取2件，已知所取2件产品中有一件不合格，则另一件也是次品的概率为 1/5 。
10、三人独立地解一道数学难题，它们能单独解出的概率分别为1/5，1/3，1/6，则此难题被解出的概率为 5/9 。 11、“在已知事件B发生的条件下，事件A发生”的概率称为 条件概率 ，记为P（A│B） 。
12、古典概型具有 非负性 、 规范性 和有限可加性 。
二、简答题 共30分。
1、描述一个随机试验的数学模型，应该具备哪些要素？（3分） 样本空间、事件域、概率
2、能用贝叶斯公式解决的问题有哪些特点？（4分）
①该随机试验可以分为两步，第一步试验有若干个可能结果，在第一步的结果的基础上，再进行第二步试验，又有若干个结果；
②如果要求与第一步试验结果有关的概率，则用贝叶斯公式。 3、古典概型问题大致可分为哪三类？（3分） 摸球问题、分房问题、随机取数问题 4、什么是随机试验？（4分）
试验满足下述条件：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的结果是明确的，可知道的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定会出现哪个结果。这样的试验就称为随机实验。 5、分布函数的性质有哪些？（5分）
非负性；若x1?x2,则P(x1?ξ?x2)?F(x1)?F(x2)；单调性；极限性。 6、某厂大量生产某种产品，其次品率p未知。每m件产品包装为一盒，为了检查产品的质量，任意抽取n和，查其中的次品数，请说明在这个统计问题中总体和样本分别是什么以及它们的分布。（5分）
总体表示一盒产品中的次品数，总体ξ服从二项分布b(k;m,p)。 样本(ξ1,ξ2,?ξn)表示所抽的n盒产品中和盒的次品数。(ξ1,ξ2,?ξn)的联合分布列为P?(ξ1?x1,ξ2?x2,?ξn)???Cx?mi?1ni? px(1?p)m?x???ii7、某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但其参数λ未知。为此任意抽
查n只电容器，测其实际使用寿命。请说明在这个问题中总体和样本分别是什么以及它们的分布。（6分）
总体ξ表示一个电容器的使用寿命，?服从参数为λ的指数分布。
样本(ξ1,ξ2,?ξn)表示所抽取n只电容器中各只电容器的使用寿命。 样本(ξ1,ξ2,?ξn)的联合密度函数为
p*??n(x1,x2,?,xn)?????e??(x1???xn),x1,x2?,xn?0,0,其它
三、综合应用题 共40分。
1、已知P（A）=1/4，P（B│A）=1/3，P（A│B）=1/2，求P（A∪B）。（3分）
P(AB)11P(B|A)???P(AB)?
P(A)312P(AB)11P(A|B)???P(B)?
P(B)261111P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????
461232、设P（A）=0.5，P（B）=0.4，P（A-B）=0.2，求P（A∪B）和P(A?B)。（6分）
①P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.2?P(AB)?P(A)?0.2?0.5?0.2?0.3 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.4?0.3?0.6
②P(A?B)?1?P(AB)?1?0.3?0.7
3、口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不放回的任取三只，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。（6分）
5?421①C35?2?1?
10?9?812C103?2?14?321②C34?2?1?
10?9?820C103?2?14、某单位同时装有两种报警系统Ⅰ和Ⅱ，两种报警系统单独使用时，系统Ⅰ和Ⅱ有效的概率分别为0.92和0.93；在系统Ⅰ失灵的条件下，系统Ⅱ仍然有效的概率为0.85，求：（1）两种系统Ⅰ和Ⅱ都有效的概率；（2）系统Ⅱ失灵，系统Ⅰ有效的概率；（3）在系统Ⅱ失灵的条件下，系统Ⅰ仍然有效的概率；（4）发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率。（10分） ①
P(AIAII)P(AII|AI)?0.85?1?P(AII|AI)?0.85?1??0.85?P(AIAII)P(AI)?(1?0.85)?P(AI)?P(AIAII)?0.15?[1?P(AI)]?0.15?(1?0.92)?0.012P(AIAII)?P(AI?AII)?1?P(AI?AII)?1?[P(AI)?P(AII)?P(AIAII)?1?[1?P(AI)?1?P(AII)?P(AIAII)]?1?[1?0.92?1?0.93?0.012]?0.862
②P(AIAII)?P(AI)?P(AIAII)?0.92?0.862?0.058
P(AIAII)P(AIAII)0.012?1??1??0.8286
1?P(AII)1?0.93P(AII)④P(AI?AII)?P(A1)?P(AII)?P(AIAII)?0.92?0.93?0.862?0.988 ③P(AI|AII)?1?P(AI|AII)?1?5、两射手独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.9和0.8，求：（1）两人都击中目标的概率；（2）目标被击中的概率；（3）恰好有一人击中目标的概率。（9分）
①P(A甲?A乙)?P(A甲A乙)?P(A甲)P(A乙)?0.9?0.8?0.72 ②③
P(A甲?A乙)?1?P(A甲?A乙)?1?P(A甲)P(A乙)?1?[1?P(A甲)][1?P(A乙)]?1?(1?0.9)(1?0.8)?0.98P(A甲A乙?A甲A乙)?P(A甲A乙)?P(A甲A乙)?P(A甲)P(A乙)?P(A甲)P(A乙)
?P(A甲)[(1?P(A乙)]?[1?P(A甲)]P(A乙)?0.9?(1?0.8)?(1?0.9)?0.8?0.266、事件A，B独立，A与B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求：（1）P（A）；（2）P（B）。（6分）
111P(AB)??P(A)P(B)??[1?P(A)][1?P(B)]?999
18?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)??P(A)P(B)?P(A)?P(B)??099P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B) 由上推出：
8P(A)P(A)?2P(A)??0
92P(A)1?;3解得：
4P(A)2?(不符合题意，舍去)。32所以：P(A)?P(B)?
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