最新年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题

一、 有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27?.

例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43?.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .14?.

例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. C

A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

3.求多面体的外接球的有关问题

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

6x?3,????x??932??xh,???6?4?h??81,23．98

12∴正六棱柱的底面圆的半径r?，球心到底面的距离d?接球的半径R?r2?d2. 体积：V?4?3R. 33.∴外2222小结 本题是运用公式R?r?d求球的半径的，该公式是求球

的半径的常用公式.

二、构造法(补形法) 1、构造正方体

例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.9?.

例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

2故其外接球的表面积S?4?R?9?.

小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，

222则有2R?a?b?c. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为

，则

体对角线长为l?a2?b2?c2，几何体的外接球直径为2R体对角线长l

a2?b2?c2即R?

2练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分

别为1,6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为S?4?R2?16?

例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. 3? B. 4? C. 33? D. 6? A. (如图2)

例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，?DAB=60，E为AB的中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）.

43666????272824A. B. C. D.

0解析：（如图3） 因为AE=EB=DC=1，?DAB=?CBE=?DEA=60，所以

AD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，

0这与例6就完全相同了，故选C.

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