1.2.2 充要条件
目标定位 1.理解充要条件的含义.2.通过具体命题，掌握判断充要条件的方法. 3.会证明具体问题中的必要性和充分性.
自 主 预 习
充要条件
一般地,如果既有p?q，又有q?p就记作p?q.
此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p?q,那么p与q互为充要条件.
即 时 自 测
1.思考题
(1)如何证明充要条件？ 提示：分清充分性和必要性.
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”有什么区别？
提示：这两种说法的充分性与必要性不同，“p是q的充要条件”的充分性是p?q，必要性是q?p，而“p的充要条件是q”恰恰相反. 2.设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由A∩B＝A可知，A?B；反过来A?B，则A∩B＝A，故选C. 答案 C
3.“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的( )
2
A.充要条件 C.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由x＞1?x＋2＞3?log1(x＋2)＜0，log1(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，
22故“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.
2
答案 B
4.“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件. 解析 若a＝2，则直线x＋y＝0与x＋y＝1平行，反过来也成立. 答案 充要
类型一 充要条件的判断
【例1】 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； (2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； (4)p：x＞5，q：x＞10； (5)p：a＞b，q：a2＞b2.
解 命题（1）和（3）中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要条件； 命题（2）中，p?q,但q?p，故p不是q的充要条件；命题（4）中，p?q，但q?p，故p不是q的充要条件；命题（5）中，p?q，且q?p，故p不是q的充要条件.
规律方法 判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法.
【训练1】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( ) A.ab＝0 C.a2＋b2＝0
B.ab>0 D.a2＋b2>0
(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________.
解析 (1)a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
(2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a< －1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点. 答案 (1)D (2){a|a<－1}
类型二 充要条件的证明(互动探究)
【例2】 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. [思路探究]
探究点一 证明充分性时，条件和结论分别是什么？ 提示：条件：k<－2；
结论：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两根均大于1.
?x1＋x2>2??x1>1
?探究点二 在Δ≥0的条件下，能否推出?？若不能，该怎样推证？
?x>1?2x1·x2>1?
（x1－1）＋（x2－1）>0???x1>1，
???提示：
（x1－1）（x2－1）>0???x2>1.证明 充分性：当k<－2时， Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0， ∴x1－1>0，x2－1>0. ∴x1>1，x2>1. 必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则 1
?k≤4，
??
?（x1－1）＋（x2－1）>0，??（x1＋x2）－2>0， ?（x1－1）（x2－1）>0??x1x2－（x1＋x2）＋1>0.Δ＝（2k－1）2－4k2≥0，
1?k≤4，?
即?－（2k－1）－2>0， ??k2＋（2k－1）＋1>0，解得k<－2.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
【训练2】 求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件. 解 (1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，
??11则必须满足??0 1 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤4. 1 反之，若a≤4，则方程至少有一个负的实根. 1 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤4. [课堂小结] 1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别； ①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性； ②p的充要条件是q，则p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形 1 a>0，
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