3Bωr2
. 2R
(2)根据能量守恒定律，外力的功率P等于安培力与摩擦力的功率之和，即P＝BIrv＋fv，而f＝μmg
9B2ω2r43μmgωr
解得P＝＋.
4R2
3Bωr2
答案 (1)方向为C→D 大小为 2R
9B2ω2r43μmgωr(2)＋
4R2变式题组
2．[电磁感应中的能量问题]如图4所示，固定的光滑金属导轨间距为L，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中．质量为m、电阻为r的导体棒与固定弹簧连接后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v0.整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行．
图4
(1)求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；
(2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a； (3)若导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为Ep，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q.
BLv0
答案 (1)，电流方向为a→b
R＋rB2L2v
(2)gsinθ－
m?R＋r?
222
R?12mgsinθ
mv＋－Ep? (3)k?R＋r?20
解析 (1)初始时刻，导体棒产生的感应电动势E1＝BLv0
BLv0E1通过R的电流大小I1＝＝ R＋rR＋r电流方向为a→b
(2)导体棒产生的感应电动势为E2＝BLv
感应电流I2＝
BLvE2＝ R＋rR＋r
B2L2v
导体棒受到的安培力大小F＝BIL＝，方向沿导轨向上
R＋r根据牛顿第二定律有mgsinθ－F＝ma
B2L2v
解得a＝gsinθ－
m?R＋r?(3)导体棒最终静止，有mgsinθ＝kx
mgsinθ
压缩量x＝
k
设整个过程回路产生的焦耳热为Q0，根据能量守恒定律有 12
mv＋mgxsinθ＝Ep＋Q0 20
12?mgsinθ?2
Q0＝mv0＋－Ep
2k电阻R上产生的焦耳热
222
RR?12mgsinθ
mv0＋－Ep? Q＝Q0＝k?R＋rR＋r?2
考点三 动力学和能量观点的综合应用
根据杆的数目，对于“导轨＋杆”模型题目，又常分为单杆模型和双杆模型．
(1)单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类问题所给的物理情景一般是导体棒垂直切割磁感线，在安培力、重力、摩擦力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关系、能量守恒定律等．此类问题的分析要抓住三点：①杆的稳定状态一般是匀速运动(达到最大速度或最小速度，此时合力为零)．②整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功．③电磁感应现象遵从能量守恒定律．
(2)双杆类问题可分为两种情况：一是“假双杆”，甲杆静止不动，乙杆运动．其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止、受力平衡．另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减．
线框进入磁场和离开磁场的过程和单杆的运动情况相同，在磁场中运动的过程与双杆的运动情况相同．
例3 (2014·江苏·13)如图5所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g.求：
图5
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ； (2)导体棒匀速运动的速度大小v； (3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q. 解析 (1)在绝缘涂层上
导体棒受力平衡mgsinθ＝μmgcosθ 解得导体棒与涂层间的动摩擦因数μ＝tanθ (2)在光滑导轨上 感应电动势：E＝BLv
E
感应电流：I＝
R安培力：F安＝BIL
受力平衡的条件是：F安＝mgsinθ
mgRsinθ
解得导体棒匀速运动的速度v＝22 BL(3)摩擦产生的热量：QT＝μmgdcosθ
1
根据能量守恒定律知：3mgdsinθ＝Q＋QT＋mv2
2322
mgRsin2θ
解得电阻产生的焦耳热Q＝2mgdsinθ－. 2B4L4mgRsinθ
答案 (1)tanθ (2)22 BL322
mgRsin2θ
(3)2mgdsinθ－
2B4L4变式题组
3．[双杆模型问题]如图6所示，两条平行的金属导轨相距L＝1m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN和PQ的质量均为m＝0.2kg，电阻分别为RMN＝1Ω和RPQ＝2Ω.MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t＝0时刻起，MN棒在水平外力F1的作用下由静止开始以a＝1m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F2作用下保持静止状态．t＝3s时，PQ棒消耗的电功率
为8W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动．求：
图6
(1)磁感应强度B的大小；
(2)t＝0～3s时间内通过MN棒的电荷量； (3)求t＝6s时F2的大小和方向；
(4)若改变F1的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移x满足关系：v＝0.4x，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到x＝5m的过程中，系统产生的热量．
20
答案 (1)2T (2)3C (3)大小为5.2N，方向沿斜面向下 (4)J
3解析 (1)当t＝3s时，设MN的速度为v1，则 v1＝at＝3m/s E1＝BLv1 E1＝I(RMN＋RPQ) P＝I2RPQ
代入数据得：B＝2T.
ΔΦ
(2)E＝ ΔtΔΦ
q＝Δt＝ RMN＋RPQRMN＋RPQ代入数据可得：q＝3C
(3)当t＝6s时，设MN的速度为v2，则 v2＝at＝6m/s E2＝BLv2＝12V
E2I2＝＝4A
RMN＋RPQF安＝BI2L＝8N
规定沿斜面向上为正方向，对PQ进行受力分析可得： F2＋F安cos37°＝mgsin37°
代入数据得：F2＝－5.2N(负号说明力的方向沿斜面向下)
E
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