2020年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和N?{xx?2k?1,k?1,2,L}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个
1,3?，有2个，选B. 【解析】由M?{x?2?x?1?2}得?1?x?3，则M?N??2. 设z是复数，a(z)表示满足z?1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)? A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】a(i)?i?1，则最小正整数n为4，选C.
x3. 若函数y?f(x)是函数y?a(a?0,且a?1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则
nnf(x)?
A. log2x B. log1x C.
212x D. x2【解析】f(x)?logax，代入(a,a)，解得a?1，所以f(x)?log1x，选B. 222n4.已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,L，且a5?a2n?5?2(n?3)，则当n?1时，
log2a1?log2a3?L?log2a2n?1?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
22A. n(2n?1) B. (n?1) C. n D. (n?1) 22nn2n【解析】由a5?a2n?5?2(n?3)得an?2，an?0，则an?2， log2a1?log2a3?????
2log2a2n?1?1?3?????(2n?1)?n2，选C.
5. 给定下列四个命题：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 【解析】选D.
6. 一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为
0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. 6 B. 2 C. 25 D. 2722200【解析】F3?F1?F2?2F1F2cos(180?60)?28，所以F3?27，选D.
w.w.w..s.5.u.c.o.m 7．2020年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
113【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2C2A3?24；若小张、小赵都入选，则有22选法A2A3?12，共有选法36种，选A.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是 A. 在t1时刻，甲车在乙车前面 B. t1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t0时刻，两车的位置相同 D. t0时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，选A.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 12题）
9. 随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1,a2,L,an，则图3所示的程序框图输出的s? ，s表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） 【解析】s?a1?a2?????an；平均数
n10. 若平面向量a，b满足a?b?1，a?b平行于x轴，b?(2,?1)，则a? .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】则a?(1,0)?(2,?1)?(?1,1)或a?(?1,0)?(2,?1)?(?3,1). a?b?(1,0)或(?1,0)，
11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 ．
3，且G上一点到G的两个23x2y2??1. 【解析】e?，2a?12，a?6，b?3，则所求椭圆方程为
236912．已知离散型随机变量X的分布列如右表．若EX?0，DX?1，则a? ，b? ．
【解析】由题知a?b?c?解得a?1111，?a?c??0，12?a?12?c?22??1，1261251，b?. 124（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线l1:?为参数）垂直，则k? ． 【解析】??x?1?2t,?x?s,（t为参数）与直线l2:?（s?y?1?2s.?y?2?kt.k?(?2)??1，得k??1. 214．（不等式选讲选做题）不等式
x?1?1的实数解为 ． x?2?x?1?x?2?(x?1)2?(x?2)2x?13【解析】???x??且x??2. ?1??2x?2?x?2?0?x?2?015．（几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且AB?4,?ACB?45，
则圆O的面积等于 ．
0【解析】解法一：连结OA、则?AOB?90，∵AB?4，∴OA?22，OB，OA?OB，
0则S圆???(22)2?8?；解法二：2R?4?42?R?22，则0sin45S圆???(22)2?8?.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分）
已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中??(0,（1）求sin?和cos?的值； （2）若sin(???)??2)．
10?,0???，求cos?的值．102w.w.w..s.5.u.c.o.m
解：（1）∵a与b互相垂直，则a?b?sin??2cos??0，即sin??2cos?，代入
sin2??cos2??1得
sin???255,cos???55，又
???(0,)2，∴
sin??（
2
255,cos??. 55）
∵
0????2，
0????2，∴
?，
?2??????2，则
cos(???)?1?sin2(???)?31010∴
cos??cos[??(???)]?cos?cos(???)?sin?sin(???)?17．（本小题满分12分）
2. 2根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0,50]，(50,100]，
(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分
布直方图如图5.
（1）求直方图中x的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示．已知5?78125，2?128，
77327 ??1825365182538123，365?73?5） ??18259125912532381237解：（1）由图可知50x?1?(????)?50?1??50，解
18253651825182591259125119得x?；
182501192（2）365?(?50??50)?219；
18250365?（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为
1192219332?50??50??，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1??，
18250365365555766537273062631一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为1?C7()()?C7()()?.
555578125
18．（本小题满分14分）
如图6，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方
G1 形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．
（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投
x y E1 z
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