初三数学竞赛试题 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．设非零实数，，满足则的值为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解答】由已知得，故．于是，所以． 2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且 ，，
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）．
（A）OD
（B）OE
（C）DE
（D）AC
【答案】D
【解答】
由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数．
（A）3
（B）4
（C）6
（D）8
【答案】C
【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．
因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．
连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．
因为，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，
且，则的值为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解答】设，则 ，
于是．
二、填空题
6．设，b是的小数部分，则的值为 ．
【答案】
【解答】由于，故，因此．
【答案】
【解答】如图，连接AF，则有： ，
解得，．
所以，四边形AEFD的面积是．
8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为
【答案】
【解答】由已知，消去c，并整理得
．由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3．
若，则，无正整数解；
若，则，无正整数解；
若，则，于是可解得，．
．
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