2019年高考数学一轮复习(热点难点)专题57 直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题

备战2019年高考数学一轮复习（热点难点）专题57 直线与圆锥曲线的位置

关系之焦点弦、焦点三角形问题

考纲要求:

1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想． 基础知识回顾:

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.

(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.

??Ax＋By＋C＝0，由?

?fx，y＝0，?

2

消元．(如消去y)得ax＋bx＋c＝0.

2

①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线

l与抛物线的对称轴平行(或重合)．

②若a≠0，设Δ＝b－4ac.

a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；

c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．

2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长： |P1P2|＝＝

＋k2x1＋x2

2－4x1x2]＝1＋k·|x1－x2|＝

2＋

1

2

ky1＋y2

2

－4y1y2]

1

1＋2|y1－y2|

k(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)． 应用举例:

类型一 椭圆的焦点三角形

x2y2【例1】【2018届福建省福州市闽侯第六中学高三上期中】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率

ab为e?2，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4?22. 2

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y?m和椭圆C交于A,B两点，且直线DA,DB与y轴分别交于P,Q两点，求证： ?PF1F2??QF1F2?90?.

x2y2??1;(2)详见解析. 【答案】(1) 42

x0y1?y0x1x0?x1xy?yx?0101 ∴tan?PF1F2?cc?x0?x1?tan?QF1F2?x0y1?y0x1

c?x0?x1?x0y1?y0x1x0y1?y0x1x02y12?y02x12∴tan?PF1F2?tan?QF1F2? ??222c?x0?x1?c?x0?x1?cx0?x1???x02?x12?2?x0?2?22???x1?2?2x?x221101???????1 22222x0?x12x0?x12??∴?PF1F2与?QF1F2互余， ∴?PF1F2??QF1F2?90?

【例2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 点评：1.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，xy

∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)中：

ab①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；

θ2

②S＝btan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

22.椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩． 类型二 椭圆的焦点弦

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