1
＝(∠KFA＋∠KFB)＝90°. 2
(3)∵∠MFN＝90°，∴F在以MN为直径的圆上． ∵|AF|＝|AM|，|MR|＝|FR|， ∴∠MFA＝∠AMF，∠MFR＝∠FMR.
∴∠AFR＝∠MFA＋∠MFR＝∠AMF＋∠FMR＝90°，即RF⊥AB，F为垂足． 因此，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F.
(4)易知直线AO的方程为y＝x，则Q?－，－?.∵y1y2＝－p，
2x1?x1?2
y1
?ppy1?2
py1py1p2
∴－＝－·2＝－＝y2，
2x12y1y1
2p于是Q?－，y2?与点N重合．因此，BQ平行于x轴，即BQ平行于抛物线的对称轴．
?2?
点评：1.例1小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)
2
不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x＝2py，性质(1)应为|AB|＝y1＋y2＋p，性质(2)应为x1x2
?p?
＝－p，y1y2＝，其余情况可自行推导．两道例题分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质．
4
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．
3．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 类型四 双曲线的焦点弦与焦点三角形
π
【例7】过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )
496A．没有交点 B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上 D．有两个交点分别在左、右两支上
3xy2
解析：直线l的方程为y＝(x＋13)，代入C：－＝1整理，得23x－813x－160＝0，Δ＝(－
349813)＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．
4
【例8】设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的
243
2
2
2
2
2
p2
x2y2
y2
面积等于( ) A．42 C．24
B．83 D．48
点评：双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在． 方法、规律归纳:
x2y2
1.以椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠
abF1PF2＝θ，注意以下公式的灵活运用：
①|PF1|＋|PF2|＝2a；
②4c＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1||PF2|·cos θ；
2
2
2
1
③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ.
2
2．抛物线的几个常用结论
(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r＝|PF|.
p2
①y＝2px(p＞0)，r＝x0＋；
2
p2
②y＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋；
2p2
③x＝2py(p＞0)，r＝y0＋；
2
p2
④x＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋. 22
(2)焦点弦：若AB为抛物线y＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，|AB|＝l.则：
2p
①x1x2＝；
42
②y1y2＝－p；
③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2x1x2＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)． 实战演练: 1.【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为的直线与抛物线相交于两点A,B两点，若AB?8，则抛物线的方程为（ ）
22A. y?3x B. y?4x C. y?6x D. y?8x
222?3【答案】C
x2y22.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、
abF2，离心率为
（ ）
3，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，若?AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为3x2y2x2y2x2y2x22??1 B. ?y?1 C. ??1 D. ??1 A. 321281243【答案】A
3.【2017届浙江省杭州市高三4月】设倾斜角为?的直线l经过抛物线C:y?2px(p?0)的焦点F，与抛物线C交于A， B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方.若
2AFBFos?的值为则c（ ） ?m，
A.
2mm?1mm?1 B. C. D.
m?1m?1m?1m【答案】A
【解析】过点A,B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为C,D ，再分别过A,B向准线作垂线，垂足分别为
M,N，如下图， ?AFC??BFD?? ，设BF?t ，则AF?mt ，所以DF?tcos? ，
CF?mtcos?，又根据抛物线定义可知： AM?mt,BN?t ，则DH?BN?p?tcos??t ， MA?HC?p?mtcos??mt ，由以上两式可得： m?1?cos???1?cos? ，所以解得：
cos??m?1 .故选择A. m?1
xy
4．椭圆E：2＋＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值
a3是8，则m的值等于( ) A．0 C.3
B．1 D．2
2
2
解析：设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B.
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