1cos?BCD??．
3
（1）求AD的长； （2）求cos?CBD的值． 【答案】（1）2；（2）
6 3【解析】（1）由二倍角公式求出cos?BAD，再由余弦定理计算可得； （2）由（1）可得BD2?AD2?AB2，可得?ADB??2，利用
cos?CBD??cos(?BCD??BDC)计算可得；
【详解】
解：（1）Q?BCD?2?BAD，cos?BCD??，
1311?cos?BCD?2cos2?BAD?1??，?cos2?BAD?．
33???Q?BAD??0,?，?cos?BAD?3．
?2?3在?ABD中，BD2?AD2?AB2?2AD?ABcos?BAD，
?4?AD2?6?2AD?6?3，得AD?2． 3（2）由（1）可得BD2?AD2?AB2，??ADB??2，
?sin?ABD?36，cos?ABD?． 3336，cos?BCD?， 33QAB//CD，??BDC??ABD，?sin?BCD??cos?CBD??cos(?BCD??BDC)?2231226． ????33333第 13 页 共 24 页
【点睛】
本题考查三角恒等变换及余弦定理的应用，属于中档题.
18．三棱柱ABC?A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O?底面
ABC，AA1与底面ABC所成的角为
?3，点D在棱AA1上，且AD?,AB?2. 32
（1）求证：OD?平面BB1C1C；
（2）求二面角B?B1C?A1的平面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）?13 13(1)先证明OD?BB1和OD?BC，【解析】即OD?平面BB1C1C得证.(2)利用向量法求二面角B?B1C?A1的平面角的余弦值. 【详解】 （1）连接AO，
QA1O?底面ABC，AO,BC?底面ABC，
?BC?AO?AO，且AA1与底面ABC所成的角为?A1AO，即?A1AO?1,AO1在等边△ABC中，易求得AO?3. 在△AOD中，由余弦定理，得
?3.
OD?OA2?AD2?2OA?ADcos?3?3， 2?OD2?AD2?3?OA2,?OD?AA1.
又QAA1//BB1,?OD?BB1.
QAB?AC,OB?OC,?AO?BC,
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?O， 又QBC?AO1,AO?AO1?BC?平面AA1O，
又QOD?平面AA1O，
?OD?BC，
又BC?BB1?B，
?OD?平面BB1C1C.
（2）如下图所示，以O为原点，分别以OA,OB,OA1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A?3,0,0,C?0,?1,0?,A1?0,0,3?,B?0,1,0?
?uuuuvuuuvuuuv??0,?1,?3? 故A1B1?AB??3,1,0,AC1??uuuv1uuuv由（1）可知AD?AA1,
4?333??可得点D的坐标为?,0,， ??4?4??uuuv?333??平面BB1C1C的一个法向量是OD???4,0,4??.
??设平面A1B1C的法向量n??x,y,z?，由
uuuuv??3x?y?0,?n?A1B1?0??uuuv 得????n?A1C?0??y?3x?0,令x?3,则y?3,z??1,
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3,3,?1，
uuuvuuuuuuvOD?n13?cosOD,n?uuu v?13ODn易知所求的二面角为钝二面角 ，
则n????二面角B?B1C?A1的平面角的余弦角值是?13. 13【点睛】
(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二面角常用的求法有几何法和向量法.
19．大学先修课程是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示： 分数 人数 参加自主招生获得通过的概率
（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据图中等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
95?a?100 85?a?95 75?a?85 60?a?75 a?60 25 50 100 50 25 0.9 0.8 0.6 0.4 0.3
优等生 非优等生 总计 第 16 页 共 24 页
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