学习大学先修课程 没有学习大学先修课程 总计
250 150 （2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．
（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；
（ii）某班有3名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为
X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
P?K2?k0? k0
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 n(ad?bc)2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2【答案】（1）见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）
39（ii）见解析， 55【解析】（1）作出列联表，由列联表求出K2?18.939?6.635．从而在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．
（2）(i)由题意利用互斥事件概率加法公式能求出他获得高校自主招生通过的概率． (ii)设获得高校自主招生通过的人数为X，则X~B?3,?，由此能求出X的分布列，
??3?5?即可求出期望． 【详解】
解：（1）列联表如下： 优等生 非优等生 总计 第 17 页 共 24 页
学习大学先修课程 没有学习大学先修课程 总计
50 200 900 1100 250 1000 1250 100 150 1250??50?900?200?100?由列联表可得k??18.939?6.635，
250?1000?150?1100因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系． （2）（i）由题意得所求概率为
2P?255010050253?0.9??0.8??0.6??0.4??0.3?． 2502502502502505?3?X:B（ii）设获得高校自主招生通过的人数为X，则?3,?，
?5?k?3??2?P?X?k??C3?????5??5?k3?k，k?0，1，2，3，
?X的分布列为: X P
0 1 36 1252 54 1253 27 1258 12539E(X)?3??．
55【点睛】
本题独立性检验的应用，考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力，属于中档题．
x2y262220．设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，圆O:x?y?3与x轴正半
ab3轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为23． （1）求椭圆C的方程；
（2）设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断|PM|?|PN|是否
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为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
x2y2【答案】（1）（2）是定值，3 ??1；
124xy6【解析】（1）由e?，可得a=3b，故设椭圆方程为2?2?1，可得点(3,3)33bb在椭圆上，即可求出参数的值，从而得到椭圆方程；
（2）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x?3， 可得OM?ON．当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y?kx?m，M?x1,y1?，N?x2,y2?，由圆心到直线的距离等于半径可得
22m2?3(1?k2)，联立直线与椭圆方程，消去y，列出韦达定理，即可表示出
uuuuruuuruuuuruuurOM?ON?x1x2?y1y2?x1x2??kx1?m??kx2?m?，代入计算可得OM?ON?0，即
可得到OM?ON，最后由三角形相似计算出PM?PN的值即可； 【详解】
?c6e???6解：（1）由椭圆的离心率为e?，?a3，?a?3b，
3?c2?a2?b2?x2y2?椭圆C的方程可设为2?2?1，
3bb易求得A(3,0)，且圆O在点A处的切线方程为x?3，?点(3,3)在椭圆上，
22?a2?1233xy?2?2?1，解得?2，?椭圆C的方程为??1． 3bbb?4124?（2）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x?3，
uuuuruuur由（1）知，M(3,3)，N(3,?3)，?OM?ON?0，?OM?ON．
当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y?kx?m，M?x1,y1?，
N?x2,y2?， ?mk2?13，即m2?3(1?k2)．
222联立直线和椭圆的方程得:(1?3k)x?6kxm?3m?12?0，
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6km3m2?12，x1x2?． ??36km?4(1?3k)(3m?12)?0，?x1?x2??21?3k21?3k2222uuuuruuur?OM?ON?x1x2?y1y2?x1x2??kx1?m??kx2?m?
3m2?12?6km2 ??1?k?x1x2?km?x1?x2??m??1?k??kn??m221?3k1?3k2221?k??3m??22?12??6k2m2?m2?1?3k2?1?3k2224m2?12k2?124?1?3k??12k?12???0221?3k1?3k，
?OM?ON．综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OM?ON．
在Rt?OMN中，由?OMP:?NOP得，PM?PN?OP?3为定值． 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程的计算，直线与椭圆的综合问题，定值问题，属于中档题. 21．已知函数f(x)?1?x?axlnx． （1）求f?x?在1,???上的最值； （2）设g(x)?2?f(x) ，若当0?a?1，且x?0时，g?x??m，求整数m的最小值．
x?1【答案】（1）详见解析；（2）2．
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； （2）由g(x)?1?x?xlnx1?x?xlnx，令h(x)?，x?(0,1)，已知可化为h(x)?m在(0,1)x?1x?1恒成立，根据函数的单调性求出整数m的最小值即可． 【详解】
解：（1）f??x???1?alnx?a，x??1,???，
①当a?0时，因为f??x???1?alnx?a?0，所以f?x?在1,???上单调递减， 所以f?x?max?f?1??0，无最小值．
?1??1??1???1aae,??②当?1?a?0时，f?x?在?1,e上单调递减，在??上单调递增； ??????第 20 页 共 24 页
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