第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1.1.2 基本不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A．a＋b≥2ab
?ab?
C.?b＋a?≥2 ??
abB.＋≥2 ba
D．a2＋b2＞2ab
解析：当a，b都是负数时，A不成立； 当a，b一正一负时，B不成立；
当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的． 答案：C
2．下列各式中，最小值等于2的是( ) xyA.＋ yx
1
C．tan θ＋
tan θ
x2＋5B.2
x＋4D．2x＋2－x
解析：因为2x＞0，2－x＞0， 所以2x＋2－x≥22x2－x＝2.
当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．
答案：D
3．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是( ) A．10 C．46
B．63 D．183
解析：3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝235＝183， 5
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
2答案：D
?14?
4．设x，y为正数，则(x＋y)?x＋y?的最小值为( )
?
?
A．6 C．12
B．9 D．15
?14?y4xy??解析：x，y为正数，(x＋y)x＋y＝1＋4＋＋≥9，当且仅当
xyx??
4x
＝，即y＝2x时，等号成立，选B. y
答案：B
xy
5．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a
ab＋b的最小值等于( )
A．2 C．4
B．3 D．5
11xy
解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.
abab又a，b均大于0，
?11?ba??所以a＋b＝(a＋b)a＋b＝1＋1＋＋≥2＋2
ab??
ba
·＝2＋2＝ab
4，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案：C 二、填空题
1
6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．
x
?1?
解析：y＝3－?3x＋x?≤3－23，
?
?
13
当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．
x3所以ymax＝3－23. 答案：3－23
1
7．已知函数f(x)＝2，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，
x
x
那么f(a)·f(b)的最小值是________．
1
解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.
x因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 答案：4
8．当x＞0时，f(x)＝2x
的值域是________． 2x＋1
ab＝4，
111
解析：因为x＞0，所以x＋≥2，所以0＜≤. x12
x＋x所以0＜
≤1. 1x＋
x2
2x2
又因为f(x)＝2＝，
1x＋1
x＋
x
所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．故f(x)的值域是
(0，1]．
答案：(0，1] 三、解答题
1
9．已知x＜0，求2x＋的最大值．
x解：由x＜0，得－x＞0， 1
得－2x＋≥2
－x
?1?
（－2x）?－x?＝22，
??
1
所以2x＋≤－22，
x当且仅当－2x＝
1， －x
2
即x＝－时等号成立．
21
故2x＋取得最大值－22.
x
10．若a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1－c)．
证明：因为a＋b＋c＝1，
所以1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0. 所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)． 因为a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，a＋c≥2ac＞0， 三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2ab·2bc·2ca＝8abc， 1
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
3所以8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)．
B级 能力提升
?1a?
1．已知不等式(x＋y)?x＋y?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正
??
实数a的最小值为( )
A．2 C．6
B．4 D．8
?1a?
解析：不等式(x＋y)?x＋y?≥9对任意正实数x，y恒成立，
??
yax
则1＋a＋＋≥a＋2a＋1≥9，
xy所以a≥2或a≤－4(舍去)． 所以正实数a的最小值为4. 答案：B
x2－y2
2．(2015·山东卷)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，
xy当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
x2－y2
解析：因为x?y＝，
xy
x2－y2（2y）2－x2x2＋2y22x2·2y2所以x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝
xy2yx2xy2xy22xy
＝2. 2xy
其中x＞0，y＞0，当且仅当x2＝2y2，即x＝2y时等号成立． 答案： 2
3．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的
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