∵OA⊥OB， ∴∠2+∠B=90°， ∵OB=OQ， ∴∠B=∠4， ∵RP=RQ， ∴∠1=∠3=∠2， ∴∠3+∠4=90°， ∴OQ⊥RQ， ∴RQ是⊙O的切线．
（2）解：如图1中，
①当点R与A重合时，易知∠B=45°．
②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，∴∠R=30°， ∵RQ=RP，
25
OR=2OQ，
∴∠RPQ=∠RQP=75°， ∴∠OPB=75°，
∴∠B=90°﹣∠OPB=15°， 综上所述，15°≤∠B＜45°．
（3）如图2中，延长AO交⊙于M．
∵PA?PM=PB?PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），
∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB?PQ， ∴OB2﹣OP2=PB?PQ． 即OB2=PB?PQ+OP2．
【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、等腰三角形的性质、相交弦定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．
（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；
26
（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；
（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过的面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′由此计算即可．
（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，首先证明△AEM是等腰直角三角形，推出AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x+
x=1，解得x=
﹣1，推出BM=AB﹣AM=1﹣（
BM=2
x，可得
，同
﹣1）=2﹣
理可得BN=2﹣，推出MN=﹣2，设△BMN的内切圆的半径
为r，则有（MN+BM+BN）?r=BM?BN，由此求出r即可解决问题． （3）在正方形OABC旋转的过程中l值不发生变化．如图3中，延长BA到E使得AE=CN．只要证明△OAE≌△OCN，推出OE=ON，∠AOE=∠CON，再证明△MOA≌△MON，推出EM=MN，推出△BNM的周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2． 【解答】解：（1）如图1中，
27
由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过的面积=S扇
形OBB′
+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′
=S扇形OBB′﹣S扇形OCC′ ==
（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，
．
﹣
∵∠AOM=22.5°， ∴∠EOM=∠EMO=22.5°， ∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=
28
x，
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