第二十二 分数、百分数应用题综合提高
、 基础知识回顾： 1. 比：
(1 )比的概念：两个数相除叫做两个数的
比?例如，5+6可记作5:6. “： ”是
比号， 比号前面的数叫做比的 前项，比号后面的数叫做比的 后项 ，前项除以后项所 得的商叫做 比值.比的后项不能为 0.
(2)比的性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数，比值不变.
2.
比例基本性质：
如果 a:b c:d ，那么 a d b c .
3.
正比例关系和反比例关系：
( 1 )正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量相对应的两个数的比值 (也就是商) 一定， 这两种量就叫做 成正比例的量 ，它们 的关系叫做 成正比例关系 ，或者简写为“成正比” .
( 2)反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相 对应的两个数的
乘积一定，这两种量就叫做 成反比例的量 ，它们的关系叫做 成反 比例关系 ，或者简写为“成反比” .
注意，正比例和反比例是两种“量”之间的关系.比如长度、面积、时间、价 格、重量……这些都是生活中实际存在的“量”
.而以前我们学习的比和比例则是
针对具体的 “数” 之间的关系. 两个量之间如果 成正比例关系 或成反比例关系 ，称 为这两个量 成比例 .
、 分数、百分数应用题相关的题目类型及解题方法： 1.
比例互化：
( 1 )部分占部分，部分占整体之间的转化； ( 2)多组比化连比.
2.
通过寻找不变量解题：常用不变量有： ( 1 )总量(和)不变：给来给去的情况；
( 2)差不变：同增、同减的情况； ( 3)其中某一个量没有变化.
3. 4.
正反比例的概念和应用. 复合比.
5. 6. 7.
方程法. 倒推法. 列表法.
例1.甲、乙两个人分别有许多苹果，如果甲买了 5个苹果，则此时甲、乙两人的苹果数之
比是7:8 ;如果甲买了 9个苹果，乙丢了 4个苹果，此时甲乙两人的苹果数之比是 3:2， 那么两人原来分别有多少个苹果？
「分析」本题可以利用“和不变”解题.
练习1、小高、小思两个人分别有许多积分，如果小高又得了 3分，则此时两人的积分
3:4,那么
之比是2:3 ;如果小高又得了 8分，小思丢了 5分，此时两人的积分之比是 两人原来分别有多少积分？
例2.甲乙两个班的同学人数相等，且各有一些同学参加了课外数学小组的活动.其中甲班
参加的人数是乙班参加人数的 -.乙班未参加人数是甲班未参加人数的
-.请问：甲
5
班未参加人数是乙班参加人数的几分之几？ 「分析」因为两班总人数相同可以采用设数法， 其它数量了.
5
设出这个总数后，就可以表示出所需的
练习2、甲、乙两人有相同数目的水果，水果有梨和苹果两种，甲的梨和乙的苹果数目 之比为4:3,甲的苹果和乙的梨数目之比为 多少？
6:7，那么甲的苹果数和乙的苹果数之比是
例3.有三个最简真分数，其分子的比为
28
经过约分后为
3:2:4，分母的比为5:9:15 .将这三个分数相加，再
45
.那么三个分数的分母相加是多少？
「分析」可以采用设未知数的办法解答此题.
练习3、有三个真分数（其中第一个是最简真分数），其分子的比为
3:4:5，分母的比为
4:9:18 ?将这三个分数相加，再经过约分后为
72 ?那么三个分数的分母相加是多少?
例4.某工厂有A, B, C, D , E五个车间，人数各不相等?由于工作需要，把
1 2
B车间工人
1
1 6
3
1 4
的—调入A车间，C车间工人的-调入B车间，D车间工人的一调入C车间，E车间 工人的-调入D车间.现在五个车间都是 30人.原来每个车间各有多少人？ 「分析」本题可以采用“倒推法”.
练习4、五指山上有甲，乙，丙，丁四队妖怪，妖怪数各不相等?为了均衡势力，把乙
111
队妖怪的1调入甲队，丙队的 丄调入乙队，丁队的 -调入丙队?现在四支队伍都是
3
人?原来每个队伍各有多少妖怪？
5 7
48
例5?小光、小明和小亮分一些苹果. 他们发现，苹果可以恰好按照 4:3:2分配（按照小光、
小明、小亮的顺序，下同），也可以恰好按照 5:4:n分配（其中n为自然数），两种分配 方法下，小光所分得的苹果数相差
20个?那么苹果总数的最大值是多少？
「分析」本题中哪些量是没有发生变化的呢？
例6.甲、乙、丙三人玩赢卡片的游戏，他们手中一共有
1 1
5
丙赢了甲、乙每人上轮结束时手中卡片的 么结束时丙手中有多少张卡片？
156张卡片?第一轮，甲赢了乙、
丙每人手中卡片的1;第二轮，乙赢了甲、丙每人上轮结束时手中卡片的 1，最后一轮，
1
1
4
2:3，那
4
，最后甲、乙手中的卡片数之比是
「分析」本题可以采用寻找“不变量”作为解题突破口.
数学泰斗——阿基米德
阿基米德（约前 287年—前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、 力学家，静力学和流体静力学的奠基人. 他出生于西西里岛的叙拉古， 从小就善于思考， 喜欢辩论. 早年游历过埃及， 曾在亚历山大城学习. 据说他住在亚历山大里亚时期发明 了阿基米德式螺旋抽水机， 今天在埃及仍旧使用着. 第二次布匿战争时期， 罗马大军围 攻叙拉古， 最后阿基米德不幸死在罗马士兵之手. 他一生献身科学，忠于祖国，受到人 们的尊敬和赞扬.
阿基米德出生在古希腊西西里岛东南端的叙拉古城. 在当时古希腊的辉煌文化已经 逐渐衰退， 经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；但是另一方面，
意大利半岛
上新兴的罗马帝国， 也正不断的扩张势力； 北非也有新的国家迦太基兴起. 阿基米德就 是生长在这种新旧势力交替的时代，而叙拉古城也就成为许多势力的角力场所.
阿基米德的父亲是天文学家和数学家， 所以阿基米德从小受家庭影响， 十分喜爱数 学.大概在他九岁时， 父亲送他到埃及的亚历山大城念书. 亚历山大城是当时世界的知 识、文化中心，学者云集，举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达，阿基米德 在这里跟随许多著名的数学家学习， 包括有名的几何学大师—欧几里得， 在此奠定了他 日后从事科学研究的基础.
在数学方面，阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、 圆形的面积以及椭球体、 抛物面 体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法. 在推演这些公式的过程中， 他创立了 “穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻 祖.他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、 面积逐渐接近的方法， 比较精确的求出 了圆周率. 面对古希腊繁冗的数字表示方式， 阿基米德还首创了记大数的方法， 突破了 当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题.
浮力原理的发现
关于浮力原理的发现， 有这样一个故事： 相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯 金的王冠.但是在做好后，国王疑心工匠，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样 重.工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假， 又不能破坏王冠， 这个问题不仅难倒 了国王，也使诸大臣们面面相觑.经一大臣建议，国王请来阿基米德检验.最初，阿基 米德也是冥思苦想而却无计可施.一天， 他在家洗澡，当他坐进澡盆里时， 看到水往外 溢，同时感到身体被轻轻托起. 他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法， 来确 定金冠的比重. 他兴奋地跳出澡盆， 连衣服都顾不得穿上就跑了出去， 大声喊着“尤里 卡！尤里卡！”
（Eureka，意思是“我知道了” ）.
他经过了进一步的实验以后， 便来到了王宫， 他把王冠和同等重量的纯金放在盛满 水的两个盆里， 比较两盆溢出来的水， 发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多. 这就 说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大， 密度不相同， 所以证明了王冠里掺进了其 他金属.
这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王的事实， 阿基米德从中发现了浮力定律 （阿基米德原理） ：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量.一直到现 代，人们还在利用这个原理计算物体比重和测定船舶载重量等. 给我一个支点，我可以撬动地球
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