高考模拟数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.已知全集
，集合
，则
=
（ ） A.[2，3） B.（2，4） C.(3，4] D.(2，4] 2.复数
，则
等于
（） A. B.
C.
D.
3.设 中变量x，y满足条件 ，则z的最小值为（ ）
A. B. C. D.
的图象上，则数列
4.已知数列{ an}的前 n项和为 Sn ，点( n， Sn)在函数 f( x)={ an} 的通项公式为（ ） A.5.过点
B. 引直线 与圆
C.
相交于
两点，
D.
面积取最大值
为坐标原点，当
时，直线 的斜率为 ( ） A.
B.
C.
D.
6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（） A.24种 B.28种 C.32种 D.16种 7.下列四个结论： ①命题“若角函数”； ②命题“③在④当
中，“ 时，幂函数
”的否定是“ ”是“ 在区间
”的充要条件； 上单调递减．
是周期函数，则
是三角函数”的否命题是“若
是周期函数，则
不是三
其中正确命题的个数是（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（）
A.1007 B.1008 C.1009 D.2010 9.已知函数A.为偶函数 10.已知函数( ) A.
11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（）
B.
C.
D.
若函数
只有一个零点，则实数 a的取值范围是
满足
一定为奇函数 B.
对
一定为偶函数 C.
恒成立，则函数（）
一定为奇函数 D.
一定
2
2
2
2
A. B. C. D. 为
的边
上一点，
中
， ，
为边 ，则
的一列点，满 的通项公式为（）
12.如图，已知点足
，其中实数列
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共1小题，共5.0分) 13.函数
在区间
上的最大值是 .
14.设常数已知15.已知
， ，
的二项展开式中 ，则
．
项的系数为40，记等差数列 的前n项和为 ，
，抛物线 的焦点为 ，直线 经过点 且与
抛物线交于 点，且 ，则线段 的中点到直线 的距离为 .
16.已知函数值为( ).
，存在 ， ，则 的最大
三、解答题(本大题共8小题，共96.0分) 17.(本小题满分12分)在
，设
（Ⅰ）求（Ⅱ）当
18.（本小题满分 12 分） 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间之比为
．
，
，
内的频率
中，边 的最大值为
分别是内角 ．
所对的边，且满足
的值；
为
的中点时，求
的长．
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间
19.（本小题满分12分）已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.
内的产品件数为
，求
的分布列与数学期望．
（Ⅰ）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB．
（Ⅱ）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．
20.（本小题满分12分）已知点
,动点
分别与
轴交于点
，P是
与轨迹
上任意一点，P在 轴上的射影为 交于
， 两点，直线
，
，
的轨迹为C，直线 ，
．
（Ⅰ）求轨迹（Ⅱ）以
的方程；
为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
21.（本小题满分12分）已知函数(Ⅰ)(Ⅱ)( III )当求
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.
的取值范围.
时，求 时，求
的单调区间和极值； 的单调区间 时，若存在
，使不等式
.
成立，
已知在三角形ABC中， AB=AC. 以 AB 为直径的 圆O 交 BC 于 D ，过 D 点作 O 的切线交 AC 于 E .求证：
(Ⅰ) DE垂直于AC (Ⅱ) BD=CE ·CA
2
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．
已知直线 为参数), 曲线 （ 为参数）.
(Ⅰ)设 与 相交于 两点,求 ；
(Ⅱ)若把曲线设点 是曲线
上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.
倍,得到曲线 ,
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 设函数
．
（Ⅰ）当 时，求不等式
，不等式
的解集；
的解集为空集，求实数 的取值范围．
（Ⅱ）若对任意1. 【分析】
本题主要考查了交集的运算，首先化简两个集合，再利用补集与交集的运算法则计算出结果. 【解答】
解：由题意得：A={y|2≤y≤4}，B={x|3≤x≤4}. 则 故选A. 2. 【分析】
本题主要考查了复数的运算，首先利用复数的运算法则把z化简为最简结果，再利用求模公式计算出结果. 【解答】
={x|2≤x＜3}.
解：
.
故答案为B. 3. 【分析】
本题主要考查了线性规划的基本运算,由直线交点计算出结果即可. 【解答】 解：
的最小值，即求2x+y的最小值，当取点时为最小值，
平移直线y=-2x到（1,1）时取得最小值为2x+y=2+1=3,即最小值=8.
故选C. 4. 【分析】
本题主要考查了定积分的运算和数列的知识，首先由定积分的知识求出 f（x）的函数关系式，再利用数列的前n项和与通项公式之间的关系求解. 【解答】 解：∵ f( x)= ∴
当n=1时，当n≥2时，
当n=1时不符合上式.
.
.
=
，
则故选D. 5. 【分析】
.
本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用基本不等式求出当圆心到直线的距离为1时，三角形的面积最大，从而利用点到直线的距离求解.
【解答】
解：由题意可知直线l的斜率一定存在， 设直线l的方程为y=k（x-2）.
则圆心到直线l的距离d= .
S=当且仅当
，即
.
时取等号.
∴=1.
解得：k=故选C. 6. 【分析】
.
不同主要考查了组合的应用.把给出的问题分为两类：其中一位同学得到两本小说，其中一位同学得到1本小说和1本诗集，进而解答此题. 【解答】
解：因为没命同学至少1本书，则一定有两个同学得到两本书，这两本书可能是2本小说，也可能是1本小说和1本诗集， 则不同的分法为故选D. 7. 【分析】
本题主要考查了命题的真假的判定. ①用否命题的定义进行判定；②根据特称命题的否定是全称命题进行判定； ③在由三角形的性质进行判定；④由幂函数的性质进行判定. 【解答】
解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”，故①错误； ②命题“
”的否定是“对于任意x∈R，x-x-1≥0”，故②正确；
2
.
③在△ABC中，“sinA＞sinB”等价为a＞b，等价为“A＞B”，则，“sinA＞sinB”是“A＞B”成立的充要条件，故③正确． ④当
时，幂函数
在区间
上单调递减，是正确的.
则正确命题的个数为3. 故选C. 8. 【分析】
本题主要考查了程序框图与算法的循环结构，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.
【解答】
解：第一次执行循环体，S=1，不满足退出循环的条件，i=3； 第二次执行循环体，S=4，不满足退出循环的条件，i=5； 第三次执行循环体，S=9，不满足退出循环的条件，i=7； …
第n次执行循环体，S=n，不满足退出循环的条件，i=2n+1； …
第1008次执行循环体，S=1008，不满足退出循环的条件，i=2017； 第1009次执行循环体，S=1009，满足退出循环的条件， 故输出的S值为：1009 故选C. 9. 【分析】
本题主要考查的是三角函数的图像与性质.利用已知的等式确定出“左加右减，上加下减”的平移规律，以及偶函数的定义进行解答. 【解答】 解：由条件可知又所以即应选D.
10. 【分析】本题主要考查了函数的零点的知识，分析已知的条件，把方程的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，从而求出a的取值范围. 【解答】 解： ∵
只有一个零点，∴方程
只有一个根，
是由关于为偶函数.
，即
的一条对称轴.
向左平移个单位得到的， 对称，
的一条对称轴.从而利用
2
22
2
∴函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象只有一个交点， 函数图象如下所示：
由图象可知 11. 【分析】
本题主要考查了由三视图由体积的知识.由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案. 【解答】
解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体， 棱台的上下底面的棱长为2和4，
.故选B.
故棱台的上下底面的面积为4和16，
故选C. 12. 【分析】
本题主要考查了向量以及数列的知识.由向量的运算法则得出项，3为公比的等比数列，即可得出结论. 【解答】
，证明{an+1}是以2为首
故选D.
13本题主要考查了导数的应用.利用导数确定出函数的单调区间，进而求出最大值. 【解答】 解：∵
∴y′=1-2sinx.
，
所以
，
故答案为.
14【解答】
故答案为10. 15
可得
，从而求出线段AB的中点到直线
【解答】 解：
的距离.
故答案为.
16
【解答】 解：
故答案为
.
17. 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知， ，即 .
由余弦定理知，
在
上单调递减，
的最大值 .
（2）根据题意：利用余弦定理
又因为D是AC的中点，所以AD等于
，
所以
，
18. 解：（Ⅰ）设区间 则区间 依题意得 解得 所以区间
． ，
内的频率为 ，
和
内的频率分别为
内的频率为 ．
（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以
服从二项分布
，其中
内的频率为
．
，
由（Ⅰ）得，区间 将频率视为概率得 因为 且
的所有可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ．
所以 的分布列为：
所以
的数学期望为
.
．
19. 证明：（1）取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，取AC的中点M，连接EM、EC， ∵AE=AC且∠EAC=60°， ∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC． ∴四边形EMCD为矩形， ∴
.
∴ED∥FP且ED=FP， 四边形EFPD是平行四边形． ∴DP∥EF，
而EF?平面EAB，DP?平面EAB， ∴DP∥平面EAB．
（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG， ∵ED∥AC，
∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱． ∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC， ∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l⊥平面DGC， ∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．
20. 解：（Ⅰ）设 , ∴
,
∵ .
∴
∵P在 上，
∴
所以轨迹 的方程为
． （Ⅱ）因为点 的坐标为
因为直线 与轨迹C于两点
，
，设点
（不妨设
），则点
联立方程组 消去 得 ．
所以 ，则 ．
．所以直线 因为直线
的方程为 ，
分别与
轴交于点
． ，
，
令 得 ，即点 ．
同理可得点 ．
所以 ．
设 的中点为 ，则点 的坐标为 ．
则以 为直径的圆的方程为 ，
即 令 故以
，得
．
，即
或
，
．
．
为直径的圆经过两定点
21. 解：（Ⅰ） 时，
令 解得 ，当 时， 当 时，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
所以 的极小值是 ，无极大值；
（ II ）
① 当 时， ，令 解得： ，或 .
令 解得： ，
所以当 时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间
是 ；
② 当 时， ， 在 上单调递减；
③ 当 时， ，令 解得： ，或
令 解得： ，
所以当 时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间
是 ；
时，
在
上单调递减.
( III )由（ II ）知，当
所以 ，
因为存在
，使不等式
成立，
所以 ，即
整理得 ，因为 ，所以
所以 ，所以 ，
的取值范围是
22. 证明：（1）连接OD、AD．
.
∵DE是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥DE． ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC．又AB=AC， ∴BD=DC．
∴OD∥AC，DE⊥AC．
(II)由（I）得D为BC中点， 所以 .
所以 .
有
得
. 23. 解：（I）
的普通方程为
的普通方程为
联立方程组
解得 与 的交点为 , ,
则
.
（II） 的参数方程为 为参数).
故点 的坐标是 ,
从而点 到直线 的距离是 由此当 时, 取得最小值,且最小值为 .
24. 解：（Ⅰ）当 时， 等价于 ．
①当 时，不等式化为 ，无解；
,
②当 时，不等式化为 ，解得 ；
③当 时，不等式化为 ，解得 ．
综上所述，不等式 （Ⅱ）因为不等式 因为
当且仅当 因为对任意 令 所以
的解集为 ．
的解集为空集，所以
，
时取等号．所以 ，不等式 ，
．
．
的解集为空集，所以
当且仅当 所以
，即 时等号成立所以 ．
．
的取值范围为
高考模拟数学试卷
一、单选题（每小题5分，共50分） 1.已知集合P?xy?log2(x?3)??，Q?yy??x?2，则下列选项正确的是（ ）
?A. P?Q B. P?Q?? C. PQ D. QP
2.已知f(x)的图像在?a,b?上连续，则“f(a)?f(b)?0”是“f(x)在?a,b?内有零点”的（ ）条件。
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3. 下列函数中周期为?且在?,?上为减函数的是（ ）
?42?A.y?sin(2x??????2) B. y?cos(2x??2) C. y?sin(x?x?2) D. y?cos(x??2)
4.设f(x)为定义R上在的奇函数，当x?0时，f(x)?2?2x?b（b为常数），则f(?1)?（ ） A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3
5.若非零向量a，b满足a?b，且(2a?b)?b?0，则向量a，b的夹角为（ ） A.
2??5? B. C. D. ? 36366. 等差数列?an?中，已知a1?3a8?a15?120，则2a9?a10?（ ） A. ?8 B. 24 C. 22 D. 20
7.已知m，n是两条不同的直线，?，?，?为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若m∥n，m?，则n∥?； B.若m∥n，m?，n?，则?∥?；
C.若?⊥?，?⊥?，则?∥?； D. 若m∥n，m⊥?，n⊥?，则?∥?. 8.直线xcos??A. ?0,
3y?2?0的倾斜角的取值范围是（ ）
???
B. ??6??5??,?? C. ??6?????,? D. ??62?????5?0,??,?? ????6??6?''9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)?1，且f(x)的导函数f(x)在上R恒有f(x)?1，则不等式 2f(x)?x1?的解集为（ ） 22A. ?1,??? B. ???,1? C. ??1,1? D. ???,1???1,???
10.若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y?f(x)的图像上；②P和Q关于原点对称,则称点对?P,Q?是函数y?f(x)的一对“友好点对”（ ?P,Q?与?Q,P?看作同一对“友好点对”）。已知函数f(x)???log2x,x?0??x?4x,x?02，则此函数的“友好点对”有（ ）
A. 0对 B. 1对 C.2对 D. 3对 二．填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知i是虚数单位，a为实数,且复数z?a?2i在复平面内对应的点在虚轴上，则a=_______. 1?i12. 空间直角坐标系中，已知点P（，P点关于xoy平面的对称点为P?，则PP2，-3，1）?=_________
?2x?y?4?13.设x,y满足?x?y??1，则z?x?y的最小值为_________
?x?2y?2?14. 已知数列?an?满足a1?31，an?1?an?2n，n?N?,则15.下列命题中正确命题的序号是：___________
①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b一定异面； ②??,??R，使cos(???)?cos??cos?； ③?x?0,都有lnx?lnx?1?0； ④?m?R，使f(x)?(m?1)xm2an的最小值是_________. n63?4m?3是幂函数，且在?0,???上递减；
⑤???R,函数y?sin(2x??)都不是偶函数。
三．解答题（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知函数f(x)?x?(a?1)x?b，
（1）若f(x)?0的解集是??5,2?，求a，b的值； （2）若a=b，解关于x的不等式f(x)?0.
17．如图，四棱锥P?ABCD中,PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形，E 为PC中点， （1）求证：AD⊥PC;
（2）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由。
2P
E
D C
A
B
18.如图，一艘轮船在A处正沿直线返回港口B，接到气象台的台风预报，台风中心O位于轮船正西40km处，受影响的范围是半径为20km的圆形区域。已知港口B位于台风中心正北30km处。 （1）建立适当的坐标系，写出直线AB的方程;
(2)如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？(不考虑台风中心的移动)
北. B 轮船 西 O . . 东
A 南
a，19. A，B,C是△ABC的内角，已知m?(2sinB,?3)，b,c分别是其对边，n?(cos2B ,2cos且m∥n，B为锐角，
（1）求B的大小；（2）如果b?3，求△ABC的面积的最大值。
20.已知函数f(x)?的图像上，
2B?1),2123（n?N?）都在函数y?f(x)x?x，数列?an?的前n项和为Sn，点?n,Sn?，
22（1）求?an?的通项公式； （2）令bn?（3）令cn?
21.已知a?R,函数f(x)?ax?lnx， g(x)?(1)当a?1时，求f(x)的单调区间与极值； （2）在（1）的条件下，求证：f(x)?g(x)?an，求?bn?的前n项和Tn； n?12ana1?n?1，证明：2n?c1?c2?......?cn?2n?，n?N?。 an?1an2lnx，x??0，e?，(其中e是自然对数的底数，为常数), x1； 2（3）是否存在实数a，使得f(x)的最小值为3. 若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。
一、选择题（共10小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案）
1
2
3
4
5
6
7
8
9 0
B
A
B
A
C
B
C
C
B
B 1
二、填空题：(共5小题，每小题5分) 11 3 12. 32 13. 三、解答题： 16、（12
分）(1)
,??) 15. [1,??) 2 14. (12f(x)?2sinxcosx?2cos2x?2sin(2x??)?14的增区间是
3[k??8?,k???]8K?Z
（2）a?b?(2sinx?cosx,?cosx)
c?(2,1)?(a?b)//c?2sinx?cosx??2cosx?tanx??1 由于x为第二象限角所以2sinx?
55
cosx??255?(a?b)?c?2(2sinx?cosx)?3cosx??565
?函数17、（12分）
f(x)为奇函数，且在[?1,1]上为增函数， f(?1)??1?f(1)?1f(0)?0?f(x)2f(x)?t?2at?1?t2?2at?1?[?1,1]在上的最大值为f(1).若
22f(1)max?1?t2?2at?0
令?(x)?t?2at?(?2t)a?t看成一条直线 a?[?1,1]上恒成立，??(1)?0
且?(?1)?0 ?t??2或t=0或t?2 故t的范围（??,?2]?{0}?[2,??)
18、（12分）（1）连BC1 在?A1BC1中,M、N分别为线段A1B、A1C1的中点?MN//BC1 BC1?平面BB1CC1 故MN//平面BCC1B1 (2)
?ABC?A1B1C1为直三棱柱，
?BB1?面ABC
?面BB1C1C?面ABC又面A1BC?面A1B1BA
方法一： 取ABA1面上一点P作PR?AB PQ?A1B.?PR?面ABB1A1 又平面A1BC?面
A1ABB1且交线为AB?PR?面ABC?PR?BC
同理PQ?BC ?BC?平面AA1B1B
方法二：过C作CS?A1B CT?AB?面ABC?面AA1B1B 面ABC?面AA1B1B?AB
?CT?面AA1B1B 同理 CS?面AA1B1B?CS//CT?CS与CT重合为CB?BC?平面AA1B1B
方法三：在面ABC内，作a?AB,在面A1BC中作b?A1B
?面ABC?面AA1B1B 面ABC?面AA1B1B?AB?a?面AA1B1B 同理b?面AA1B1B?a//b
a?面ABC?b//面ABC b?面A1BC 面ABC?面A1BC?BC?b//BC?b?面AA1B1B ?BC?平面AA1B1B
19、（12分）证法一?a?b?2ab?2(a?b)?(a?b)22222?a2?b22?()252a?b22
?
(a?1)2?(b?2)22?(a?1?b?222225a?1?b?2)?(5)??2524?24?a?b?3?a?b?192
2证法二：令a?1?x b?2?y?a?1?x
b?2?y2?P(x,y)满足 x?0 的区域，
y?0 x?y?5
?Z?目标函数=a?b?x?y?3，由线性规划可求x?y 的最小值为252 20、（13分）（1）
2222252?3?19 2g(x)??'x2?x?a'2x?1令x?x?a?0???1?4a?0 g(x)?0两根为
x1与x2且x1?x2?1?1?4a?1?1?4ax?x? 1 2 a?0时x221??1,x2?0
?当a?0时g(x)在（-1，x2)上递增，在（x2,??)递减
)?ln(1?1）?ln(1?1)?????ln(1?1)?（2）原命题等价于证明ln(1?1123n方法一用数学归纳法证明 方法二由（1）知2ln(1?x)?令x?1n12n?2n
x2?2ln2?1221?ln(x?1)?1x?(ln2?)44
得ln(1?n)?4?n2111?ln2?14
111111111ln(1?1)?ln(1?）?ln(1?)?????ln(1?)?（1????????)?(ln2?)n2222123n44234n111111?（1????????)?(ln2?)n41?22?33?4（n-1）n4
?1(2?1）?（ln2?1)n?1?(ln2?1)n 4n424只需证ln2?
3414443?1ln2?即可，即?ln2?ln2?ln416 24?lne?ln4e3?ln42.73?ln419.68 ?ln2?4?2?(ln2?4)n?33411n?122?n?2
?ln(1?3)?????ln(1?n)?n ?ln(1?1)?ln(1?2）1111n?2（1??
11)(1?)(1?)....(1?)?e12131nn?22
{an-1}等比数列。21、（14分）（1）证明：an?1?can?1?can?1?1?c(an?1) a?1时，a1?1?a?1?an?1?(a?1)cn?1?an?(a?1)cn?1?1
（2）由（1）的an??2(2)11n?1n1?b?n() ?1??(1）?1 n22n由错位相减法得nS?2?n2?n2
5(?4)n?1
（3）
Cn?4?dn?25?16n(16n?1)(16n?4)?25?16n2(16n）?3?16n?411?16?25?16n(16n)225?16n
111?Tn?d1?d2?????dn?25(16?1612?163?????n)?16
11n25?16(1?(16))51?5(1?)?n33 16高考模拟数学试卷
第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） （1）若集合A??2,3?，B?xx2?5x?6?0，则AIB?
（A）?2,3?
（B）?2,3?
（C）?
（D）?2,3?
??（2）若复数z?
2?i，则复数z在复平面内对应的点在 i5（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）命题“?x??1,2?，x2?3x?2≤0”的否定为
（A）?x??1,2?，x2?3x?2?0 （C）?x0??1,2?，x02?3x0?2?0
（B）?x??1,2?，x2?3x?2?0 （D）?x0??1,2?，x02?3x0?2?0
（4）函数y?lnx2?4x?3的单调递减区间为
（A）?2,???
（B）?3,???
（C）???,2?
（D）???,1?
??（5）已知2????6，则sin?的值为 ?sin?cos??2?22?31（B）
3
1（A）?
3（C）
22 3（D）?22 3（6）已知等差数列?an?满足：a2?2，Sn?Sn?3?54?n?3?，Sn?100，则n?
（A）7
（B）8
2
（C）9 （D）10
（7）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )
(A)．2 ( B)．22 (C)．23 ( D)．4 (8)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
（A）20? （B）24? （C）28? （D）32?
（9）已知向量a，b满足：a?b?a?b?1，则2a?b?
（A）3 （B）3 （C）7 （D）7 2
2
2
2
（10）已知双曲线mx－ny＝1(m>0，n>0)的离心率为2，则椭圆mx＋ny＝1的离心率为
16323（A）. （B）. （C）. （D）.
2333（11）关于函数f?x??3cos2x?2sinxcosx?3sin2x，有如下命题：
①x?π是f?x?的图象的一条对称轴；②?x?R，f12?π???x???f?3?π?π?fx；③将的图象向右平移?x????3?3?个单位，可得到一个奇函数的图象；④?x1，x2?R，f?x1??f?x2?≥4． 其中真命题的个数为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
?12??x,x?0（12）已知函数f?x???x，则关于x的方程?为 fx??????f?x??a?0?a?R?的实根个数不可能．．．
?lnx,x?0?
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）
?2x?y?2≥0?（13）已知?x?y?2≤0，则函数z?3x?y的最小值为 ．
?y?1≥0?（14）?,?是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m?n,m??,n//?，那么???. （2）如果m??,n//?，那么m?n. （3）如果?//?,m??，那么m//?.
（4）如果m//n,?//?，那么m与?所成的角和n与?所成的角相等. 其中正确的命题编号有 ．
x2?y2?2x?2y?1?0（15）在平面直角坐标系xOy中，点P是直线3x?4y?3?0上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则AB的取值范围是 ．
(16)已知f?x?为偶函数，当x?0 时，f(x)?e_____________________________.
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分）
在?ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知?b?2a??cosC?c?cosB?0． （Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c?2，S?ABC?3，求边长a，b的值．
?x?1?x，则曲线y?f?x?在点(1,2)处的切线方程式
（18）（本小题满分12分）
已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?2，an+1?Sn?2n?N?． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设bn?log2an，cn?an?bn，求数列?cn?的前n项和Tn．
（19）（本小题满分12分）
如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB?2AD?6，点E为线段AB上一点． （Ⅰ）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE； （Ⅱ）若直线EM与平面ABCD所成的线面角的大小为
N M
??π，求6VE?ADMN:VE?CDM．
（20）（本小题满分12分）
A D E B
C
x2y23已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M为椭圆上第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数f?x??ax2?bx?lnx，a，b?R．
（Ⅰ）当a?b?1时，求曲线y?f?x?在x?1处的切线方程； （Ⅱ）当b?2a?1时，讨论函数f?x?的单调性；
（Ⅲ）当a?1，b?3时，记函数f?x?的导函数f??x?的两个零点是x1和x2?x1?x2?． 求证：f?x1??f?x2??
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
??x?2cos?已知曲线C1的参数方程为?（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相
y?3sin???A y D O B M C x 3?ln2． 4同单位长度，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2． （Ⅰ）分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M，N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求PM?PN的最大值．
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f?x??x?a．
（Ⅰ）若不等式f?x?≤3的解集为?x?1≤x≤5?，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数x，使不等式f?x??f?x?5??m成立，求实数m的取值范围．
一、选择题： 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C D A D C C B B C A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 5（13）?；
2 （14）(2)(3)(4)；
（15）?3,2； （16）y?2x．
??三、解答题：
（17解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：?sinB?2sinA?cosC?sinCcosB?0，……2分
即sinBcosC?cosBsinC?2sinAcosC，
即sin?B?C??2sinAcosC， 即sinA?2sinAcosC． ……4分 因为sinA?0，所以cosC?1?． ……5分，又因为C??0,??，所以C?…6分 2313（Ⅱ）因为S?ABC?absinC?ab?3，所以ab?4①． …………8分
24由余弦定理得：a2?b2?c2?2abcosC， 因为c?2，C??3，ab?4，所以a2?b2?8②． …………10分
?a?2由①，②联立可得：?． …………12分
b?2?（18）解：（Ⅰ）因为an+1?Sn?2…①， 所以当n≥2时，an?Sn?1?2 … ②，
①－②，得：an?1?an??Sn?Sn?1??0，即：an+1?2an?n≥2?， …………3分 又因为a2?S1?2且S1?a1?2，所以a2?4，所以a2?2a1， …………4分 即
an+1?2对任意n?N?恒成立， 所以数列?an?为首相为2，公比为2的等比数列． an所以an?2?2n?1?2n …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：bn?log2an?log22n?n，cn?an?bn?n?2n …………7分 所以Tn?1?21?2?22?L?n?2n③，2Tn?1?22?2?23?L?n?2n?1④，…9分 ③－④，得：?Tn?2?22?23?L?2n?n?2n?1?2?1?2n?1?2?n?2n?1??1?n?2n?1?2，
所以Tn??n?1??2n?1?2． …………12分
（19）解：（Ⅰ）证明：连结AM，设AMIND?F，连结EF． …………2分
因为四边形ADMN为正方形，所以F是AM中点．
又因为E是AB中点，所以EF∥BM． …………4分 又因为EF?平面NDE，BM?平面NDE，
所以BM∥平面NDE． …………6分 （Ⅱ）略
?c3??2?a?2b2?a?2x2?1（20解：（Ⅰ）由已知可得：?解得：?；C的方程为：?y2?14分
4?b?1 ?a222?a?b?c??
x2（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：?y2?1，所以A??2,0?，B?0,?1?．…………5分
4m2设M?m,n??m?0,n?0?，则?n2?1，即m2?4n2?4．
4则直线BM的方程为：y?n?1m； …………7分 x?1，令y?0，得xC?mn?1n2n………9分 ?x?2?，令x?0，得yD?m?2m?22同理：直线AM的方程为：y?
所以SABCD11m2n1?m?2n?2???AC?BD???2??1??
22n?1m?22?m?2??n?1?
1m2?4n2?4?4mn?4m?8n14mn?4m?8n?8?????2． 2mn?m?2n?22mn?m?2n?2 即四边形ABCD的面积为定值2． …………12分 （21）解：（Ⅰ）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x －x＋lnx，
2
1
从而f ′(x)＝2x －1＋． 因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线
x方程为y－0＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0． ………2分 （Ⅱ）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax－(2a＋1)x＋lnx，
12ax－(2a＋1)x＋1(2ax－1)(x－1)
从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0． ……3分
xxx①当a≤0时， x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，
所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． …………4分 111
②当0＜a＜时， 由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，
22a2a
所以f(x)在区间(0，1)和区间(
11
，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减．…5 2a2a
22
1
③当a＝时， 因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），
2
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． …………6分 111
④当a＞时， 由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，
22a2a
所以f(x)在区间(0，
11
)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减． 2a2a
2
2
2x－bx＋1
（Ⅲ）方法一：因为a＝1，所以f(x)＝x－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．
x12
由题意知，x1，x2是方程2x－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．
2
13－b2
记g(x) ＝2x－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，
2221
所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2xi＋1 (i＝1，2)．
22222x1x1
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)－(bx1－bx2)＋ln＝－(x1－x2)＋ln．
x2x2
2121
因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝x2－－ln(2x2)，x2∈(1，＋∞)．
224x22t1
令t＝2x2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－－lnt．
22t(t－1)
因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增， 2
2t
33
所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2． …………12分
442x－bx＋1
方法二：因为a＝1，所以f(x)＝x－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．
x
2
2
2
由题意知，x1，x2是方程2x－bx＋1＝0的两个根．
13－b2
记g(x) ＝2x－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，
22
2
1
所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上为减函数．
211b13b
所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)＝(－＋ln)－(1－b)＝－＋－ln2．
242242
3b3
因为b＞3，故f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2． …………12分
424
x2y2（22）解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为??1， …………2分
43曲线C2的普通方程为x2?y2?4． …………4分
?x?2cos?（Ⅱ）由C2：x2?y2?4，可得其参数方程为?（θ为参数），点P为?2cos?,2sin??，
y?2sin??因此PM?PN??2cos??0?2?2sin??3??2??2cos??0?2?2sin??3??2 ?7?43sin??7?43sin?，…8分 ?PM?PN?2?14?249?48sin2?．
当sin??0时，?PM?PN?有最大值28， 因此PM?PN的最大值为27．…10分
（23）解：（Ⅰ）由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3． ……2分
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
??a－3＝－1，
所以?
??a＋3＝5，
2
解得a＝2． …………5分
（Ⅱ）当a＝2时，f(x)＝|x－2|．设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|． 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5（当且仅当－3≤x≤2时等号成立）得， g(x)的最小值为5． …………8分 从而，若存在实数x，使不等式f?x??f?x?5??m成立，
即g(x)min 高考模拟数学试卷 数 学（理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设z?1?i（i是虚数单位），则 2?z? z2A．2 B．2?i C．2?i D．2?2i 2．集合M?{x|lgx?0}，N?{x|x?9}，则MIN? A．(1,3) B．[1,3) C．(1,3] D．[1,3] 3．已知向量a?(1,2),b?(1,0),c?(3,4)．若?为实数，(b??a)?c， 则?? A．?13311 B．? C． D． 251134．公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且 a4a10?16，则a6= A．1 B．2 C．4 D．8 5．某程序框图如图1所示，则输出的结果S= A．26 B．57 C．120 D．247 （0,??）6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为 ?1A．y?x B．y?log2x C．y?|x| D．y??x 27．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示， 则其侧视图的面积为 A． 66 B． 422 D．2 2C． 8．在实数集R中定义一种运算“?”，具有性质：①对任意a,b?R,a?b?b?a；②对任意 a?R,a?0?a；③对任意a,b,c?R,(a?b)?c?c?(ab)?(a?c)?(b?c)?2c；函数 1f(x)?x?(x?0)的最小值为 xA．4 B．3 C．22 D．1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题） 9．不等式|x?2|?|x|?4的解集是__▲__. 10. 2个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间时说：“我们公司要从面试的人中 招3个人，你们都被招聘进来的概率是答）. 11．若圆x?y?mx?221” .根据他的话可推断去面试的人有__▲__个（用数字作701?0与直线y??1相切，其圆心在y轴的左侧，则m=__▲__. 47 ，BC=2，?B?60?，则?ABC的面积等于__▲__. 12．在?ABC中，AC??x?0,?y?0,?13．已知不等式组?表示一个三角形区域（包括三角形的内部及边界），则实数a的取值范围为 x?y?2,???x?y?a__▲__. （ ） ▲ 14．（坐标系与参数方程选做题） 已知直线l1:?又点A(1,2)，则AB?__▲__. 15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知圆O的半径为2，从圆O一点A引切线AB和割线AD，C为AD与圆O的交点，圆心O外到 ?x?1?3t(t为参数）与直线l2:2x?4y?5相交于点B， ?y?2?4tAD的距离为3，AB?15，则AC的长为__▲__. 三、解答题本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?Asin(4x??)(A?0,0????)在x?（1）求f(x)的最小正周期； ?16时取得最大值2. （2）求f(x)的解析式； （3）若???? 17.（本小题满分13分） 因台风灾害，我省某水果基地龙眼树严重受损，为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案，每种方案都需分四年实施．若实施方案1，预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案2，预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第三年与第四年相互独立，令?i?i?1,2?表示方案i实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列； （2）实施哪种方案，第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大? （3）不管哪种方案，如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大? 18.（本小题满分13分） 如图5，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB， BF?1BP，C是弧AB的中点. 4???,0?，?2?????6??1f?????，求sin?2???的值. 4?16?5??4（1）证明：BC?平面PAC； （2）证明：CF?BP； （3）求二面角F—OC—B的平面角的正弦值. 19. （本小题满分14分） x2y23已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，直线l:y?x?2与以原点为圆心、以椭 3ab圆C1的短半轴长为半径的圆O相切. （1）求椭圆C1的方程； （2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； uuur（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且满足QR?RS?0，求|QS|的取值范围. 20.（本小题满分14分） *已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1?1，nan?1?2Sn(n?N). （1）求a2,a3,a4的值； （2）求数列{an}的通项an； （3）设数列{bn}满足b1? 21．（本小题满分14分） 2??x?a(lnx?1)(0?x?e)若f(x)??2，其中a?R． ??x?a(lnx?1)(x?e)2（1）当a??2时，求函数f(x)在区间[e,e]上的最大值； 112,bn?1?bn?bn，求证：当n?k时有bn?1. 2ak（2）当a?0时，若x??1,???，f(x)? 3a恒成立，求a的取值范围． 2肇庆市中小学教学质量评估 数 学（理科） 参考答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 28 B 3?1?7A解析：侧视图的底边长为边长为1的正三角形的高，长度为a?1????，侧视图的高为2，所2?2?136以其面积为S???2? 2248B解析：根据条件③，对于任意的a,b,c有(a?b)?c?c?(ab)?(a?c)?(b?c)?2c， ∴取c?0得(a?b)?0?0?(ab)?(a?0)?(b?0)?2?0得①②得a?0?0?a?a对任意实数a都成立，代入上式得：a?b?ab?a?b这就是运算?的定义,将其代入题目检验符合①②③， ∴f(x)?x?11111?x??x??x??1?2x??1?3，当且仅当x?1时“=”成立，即函数xxxxxf(x)?x?1x(x?0)的最小值为3. 二、填空题 9. ???,?3???1,??? 10. 21 11. 3 12. 332 13. (??,?2]U[0,2) 14. 52 15. 3 三、解答题 16．（本小题满分12分） 解：（1）f(x)的最小正周期为T?2?4??2 （2分） （2）由f(x)的最大值是2知，A?2， （3分） 又f(x)??max?f???16???2sin???4??????16?????2，即sin??4?????1， （4分） ∵0????，∴ ??5?4?4，∴?4????2，∴???4???4 （5分） ∴f(x)?2sin(4x??4) （6分）（3）由（2）得f??1?4????16???2sin???4??1?4????16?????4??6， ?5即sin(???2)?35，∴cos??35， （7分）2∵???????2,0???，∴sin???1?cos2???1???3?4?5????5 （8分）∴sin2??2sin?cos??2????4??5???35??2425 （9分）cos2??2cos2??1?2??2?3??5???1??725 （10分）∴sin??2????4???sin2?cos?4?cos2?sin?24272172?4??25?2?25?2??50 17．（本小题满分13分） 解：（1）ξ1的分布列为 ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P1 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 12分） （ （3分） ξ2的分布列为 ξ2 P2 0.8 0.3 0.96 0.2 1.0 0.18 1.2 0.24 1.44 0.08 （6分） （2）由（1）可得ξ1＞1的概率P（ξ1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3， （7分） ξ2＞1的概率P（ξ2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32， （8分） ∵P（ξ2＞1）＞P（ξ1＞1），∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大. （9分） （3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意， 利润A =（0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 +（0.15 + 0.15）×20 = 14.75（万元） （10分） 利润B =（0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20 = 14.1（万元） （11分） ∵利润A＞利润B，∴实施方案1平均利润更大. （13分） 18．（本小题满分13分） （1）证明：∵PA?平面ABC，BC?平面ABC， ∴BC?PA. （1分） ∵?ACB是直径所对的圆周角， ∴?ACB?90o，即BC?AC. （2分） 又∵PAIAC?A，∴BC?平面PAC. （3分） （2）证明：∵PA?平面ABC，OC?平面ABC， ∴OC?PA. （4分） ∵C是弧AB的中点， ∴?ABC是等腰三角形，AC=BC， 又O是AB的中点，∴OC?AB. （5分） 又∵PAIAB?A，∴OC?平面PAB，又PB?平面PAB， ∴BP?OC. （6分） 设BP的中点为E，连结AE，则OF//AE，AE?BP ∴BP?OF. （7分） ∵OCIOF?O，∴BP?平面CFO. 又CF?平面CFO，∴CF?BP. （8分） （3）解：由（2）知OC?平面PAB，∴OF?OC，OC?OB， （9分） ∴?BOF是二面角F?OC?B的平面角. （10分） 又∵BP?OF，?FBO?450，∴?FOB?450， （12分） ∴sin?FOB? 19．（本小题满分14分） 解：（1）由直线l:y?x?2与圆x?y?b相切，得22222，即二面角F?OC?B的平面角的正弦值为. （13分） 22|0?0?2|?b，即b?2. （2分） 23b222由e?，得2?1?e?，所以a?3， （3分） 3a3x2y2??1. （4分） 所以椭圆的方程是C1:32（2）由条件，知|MF2|?|MP|，即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1:x??1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y?4x. （7分） 2?y12??y2?（3）由（2），知Q(0,0)，设R?,y1?,S?,y2?， ?4??4?2uuur?y2ur?y2?y2?uu?11∴QR??,y1?,RS??2,y2?y1? （8分） ?4??4?由QR?RS?0，得 2y12?y2?y12?16???y1?y2?y1??0 （9分） ∵y1?y2，∴y2???y1?16??， y1?∴y2?y1?2225625622256y?，当且仅当，即y1??4时等号成立. ?32?2y??32?6411222yy1y11 （11分） 22uuur?y2?12又|QS|???y??24?4?2222?y22?8??64 （12分） 2uuur∵y?64，∴当y?64，即y2??8时，|QS|min?85 （13分） uuur故|QS|的取值范围是?85,??. （14分） ?? 20．（本小题满分14分） ?解：（1）由a1?1,nan?1?2Sn(n?N)得 a2?2a1?2 ， （1分） a3?S2?a1?a2?3， （2分） 由3a4?2S3?2(a1?a2?a3)得a4?4 （3分） （2）当n?1时，由nan?1?2Sn ① ，得(n?1)an?2Sn?1 ② （4分） ①－②得nan?1?(n?1)an?2(Sn?Sn?1)，化简得nan?1?(n?1)an， ∴ an?1n?1?（n?1）. （5 分） anna33an?，……，n? （6 分） a22an?1n?1∴a2?2， 以上（n?1）个式子相乘得an?2?3n????n（n?1） （7 分） 2n?1?又a1?1，∴an?n(n?N) （8 分） （3）∵an?n?0，b1?121bn?bn， ?0，bn?1?ak2∴{bn}是单调递增数列，故要证：当n?k时，bn?1，只需证bk?1. （9分） （i）当k?1时 ，b1?（ii）当k?2时， ∵bn?1?bn?0，bn?1?1?1，显然成立； （10分） 212bn?bn， ak∴bn?1?1111???. （11分） bn?1bn?bn，∴ bn?1bnkk∴ ?11?11?11??11??11?k?1k?1 ????????L??????2????????kkbk?bkbk?1??bk?1bk?2??bk?2bk?3?bbb?21?1（12分） ∴bk?k?1. （13分） k?1综上，当n?k时有bn?1. （14分） 21．（本小题满分14分） 解：（1）当a??2，x?[e,e]时，f(x)?x?2lnx?2， （1分） ∵f?(x)?2x?2222，∴当x?[e,e]时，f?(x)?0， （2分） x22∴函数f(x)?x?2lnx?2在[e,e]上单调递增， （3分） 22224故f(x)max?f(e)?(e)?2lne?2?e?2 （4分） （2）①当x?e时，f(x)?x?alnx?a，f?(x)?2x?2a， x?a?0，f?(x)?0，∴f（x）在[e,??)上增函数， （5分） 2故当x?e时，f(x)min?f(e)?e； （6分） 2②当1?x?e时，f(x)?x?alnx?a，f?(x)?2x?a2aa?(x?)(x?)，（7分） xx22（i）当a?1,即0?a?2时，f(x)在区间[1,e)上为增函数， 22当x?1时，f(x)min?f(1)?1?a，且此时f(1)?f(e)?e； （8分） ??a?a?a2（ii）当1? ?e，即2?a?2e时，f(x)在区间??1,2?上为减函数，在区间??2,e?上为增函数，2????（9分） 故当x?a3aaaaa)??ln，且此时f()?f(e)?e2；时，f(x)min?f(（10分） 222222（iii）当a?e，即a?2e2时，f(x)?x2?alnx?a在区间[1，e]上为减函数， 22故当x?e时，f(x)min?f(e)?e. （11分） 综上所述，函数y?f(x)的在?1,???上的最小值为f(x)min?1?a,0?a?2?3aaa????ln,2?a?2e2（12分） ?22222??e,a?2e?2?a?2e2,?a?2e2,?0?a?2,???由?得；由得无解；0?a?2?3aaa3a?23a得无解； （13分） 31?a?a,,??ln?,??e?2?2?2222?故所求a的取值范围是?0,2?． （14分） 高考模拟数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 (1)若复数z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是(D) 2 1111(A)－i (B)i (C)－ (D) 2222 (2)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的(B) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 π (3)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可 8能取值为(B) 3πππ(A) (B) (C)0 (D)－ 444 (4)执行如图所示的程序框图，输出P的值为(A) (A)－1 (B)1 (C)0 (D)2016 (5)今年杭州峰会期间，中、美、俄等20国领导人合影留念，他们站成两排，前排9人，后排11人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有(D) (A)A1717种 (B)A2020种 (C)A32A176A1111种 (D)A22A1717种 (6)已知log2x，log2y，2成等差数列，则M(x，y)的轨迹表示的图象为(A) 16π23 (7)如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为＋，则93圆锥的母线长为(A) (A)22 (B)23 (C)4 (D)2＋3 【解析】根据三视图知几何体如图所示，底面所在圆的半径r＝12＋（3）2＝2，圆锥的高为l2－r2 8π16π2118π ＝l2－4，几何体的底面面积为π×22＋×23×1＝＋3，则由题意知?＋3?·l2－4＝＋3233?39?23 ，解得l＝22，故选A. 3 x＋3y＋5≥0?? (8)已知实数x，y满足：?x＋y－1≤0，若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝(B) ??x＋a≥0(A)1 (B)2 (C)4 (D)8 【解析】 1＋sinβππ (9)设α∈?0，?，β∈?0，?，tanα＝，则(B) 2?2???cosβ(A)3α－β＝ ππππ(B)2α－β＝(C)3α＋β＝(D)2α＋β＝ 2222 f（x1） (10)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a, b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得 x1 ＝ f（x2）f（xn） ＝…＝，则n的取值范围是(D) x2xn (A){3，4}(B){2，3}(C){3，4，5}(D){2，3，4} x2y2 (11)已知双曲线2－2＝1(a>b>0)与两条平行直线l1：y＝x＋a与l2：y＝x－a分别相交于点A、B与C、 abD，所得的平行四边形的面积为6b2，则双曲线的离心率为(B) 23 (A)2 (B) (C)3 (D)2 3 y＝x－a??a（a2＋b2）2ab2??22，2【解析】如图所示，由?xy，得点D?C(a，0)，于是由S2－b22?，aa－b??－＝1??a2b2 b?2112ab24a2b24a2b2?222＝2··2a·2＝，所以由2＝6b，得a＝3b，即?a?＝，所以e＝ 23a－b2a2－b2a－b2B. ABCD＝2S△ACD b?23 1＋??a?＝3，故选2 (12)对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1 (A)若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)·g(x)∈Mα1·α2 (B)若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且g(x)≠0，则 f（x）α1 ∈M g（x）α2 (C)若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)＋g(x)∈Mα1＋α2 (D)若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且α1>α2，则f(x)－g(x)∈Mα1－α2 选择题答题卡 题 号 答 案 (1) DCom (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) B B A D A 第Ⅱ卷 A B B D B C 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． (13)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝2，b＝3，c＝4，则xy (14)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为__3__． 34 sin2C ＝__－1__． sinA (15)如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，→→ P2，…，P10，记Mi＝AB2·APi(i＝1，2，…，10)，则M1＋M2＋…＋M10＝__180__． (16)一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱16的中点作球的截面，则该截面圆的面积是__π__． 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分12分)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋an－1＝4n－2(n≥2)． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设bn＝ 2n－1 (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn. （2）an 【解析】(Ⅰ)由an＋an－1＝4n－2(n≥2)，化为：(an－2n)＋(an－1－2n＋2)＝0，所以(an－2n)＝－(an－1 －2n＋2)， 又因为a1－2×1＝0， 所以an－2n＝0，即an＝2n(n∈N*).5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn＝ 2n－1 (n∈N*) 2n 2n－1135 Sn＝＋2＋3＋…＋n ① 22222n－11135 Sn＝2＋3＋4＋…＋n＋1 ② 22222由①－②得 2n－1111111 ＋3＋4＋…＋n?－n＋1， Sn＝＋2?2 2?222?222 11? 1－n－1? 4?2?2n－112n－132n＋3111 ∴Sn＝＋2·－n＋1＝＋1－n－1－n＋1＝－n＋1， 221222222 1－22n＋3 ∴Sn＝3－n.12分 2 (18)(本小题满分12分)今年国庆节长假期间，某旅游景点的门票面值为50元．为了吸引更多的游客，管理部门决定在景区内举行如下中奖活动：每位游客凭门票按规则同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子一次，点数之和为12中一等奖，获奖金150元；点数之和为11或10中二等奖，获奖金60元；点数之和为9或8中三等奖，获奖金30元；点数之和小于8不中奖． (Ⅰ)求某三位游客中1人获一等奖，另2人获三等奖的概率； (Ⅱ)预计国庆节长假期间共有2万人来该旅游景点观光旅游，假设每位游客都参与中奖活动，求该旅游景点在此期间总收益的期望值． 【解析】(Ⅰ)记抛掷两枚正方体骰子所得的点数为(x，y)，则 11 中一等奖只有(6，6)一种可能，其概率为＝.2分 6×636 中三等奖有(6，3)，(3，6)，(5，4)，(4，5)，(6，2)，(2，6)，(5，3)，(3，5)，(4，4)9种可能，其概率为 91 ＝.4分 6×64 设“某三位游客中1人获一等奖，另2人获三等奖”为事件A，则 P(A)＝C3 1× 1?1?21×＝.6分 36?4?192 (Ⅱ)设每位游客的中奖金额为ξ元，则ξ的可能取值为150，60，30，0. 由(Ⅰ)知，P(ξ＝150)＝ 11 ，P(ξ＝30)＝. 364 因为中二等奖有(6，5)，(5，6)，(6，4)，(4，6)，(5，5)5种可能， 5 所以P(ξ＝60)＝. 36 151217 从而P(ξ＝0)＝1－－－＝＝.8分 363643612所以Eξ＝150× 1517 ＋60×＋30×＋0×＝20.10分 3636412 所以每位游客中奖金额的期望值为20元，旅游景点对每位游客收益的期望值为50－20＝30元．故该旅游景点在此期间总收益的期望值为60万元.12分 (19)(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD ＝BC＝2.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图． (Ⅰ)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF； (Ⅱ)求二面角C－AB－F的正切值． 【解析】(Ⅰ)因为AF＝BF，∠AFB＝60°，△AFB为等边三角形． 又G为FB的中点，所以AG⊥FB.2分 在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点， 所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF， 所以AG⊥EF. 又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.5分 (Ⅱ)解法一：连接CG，因为在等腰梯形ABCD中， CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点， 所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF. 因为EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF. 过点G作GH⊥AB于H，连结CH，据三垂线定理有CH⊥AB， 所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.8分 因为在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以GH＝ 3. 2 在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝2，所以CG＝1. CG2323在Rt△CGH中，tan∠CHG＝＝，故二面角C－AB－F的正切值为.12分 GH33 解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，点B(2，0，0)，A(1，0，3)，C(1，1，0)． 因为EF⊥平面ABF，所以n1＝(0，1，0)为平面ABF的一个法向量． 设n2＝(x，y，z)为平面ABCD的法向量， →→→→ 因为AB＝(1，0，－3)，CB＝(1，－1，0)，由n2⊥AB，n2⊥CB，得 →?AB＝0?n2·?， →?CB＝0?n2· ?x－3z＝0即?. ?x－y＝0 令x＝3，则y＝3，z＝1，所以n2＝(3，3，1)．(9分) n1·n221 所以cos〈n1，n2〉＝＝. |n1||n2|7从而tan〈n1·n2〉＝ 2323 ，故二面角C－AB－F的正切值为.(12分) 33 3x2y211，?，离心率为. (20)(本小题满分12分)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点P??2?ab2(Ⅰ)求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值． 9 14c1 【解析】(Ⅰ)由题意得2＋2＝1，＝，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，c＝1， aba2x2y2 椭圆C的标准方程为＋＝1.(5分) 43 (Ⅱ)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，△F2MN的内切圆半径为r，则 1 S△F1MN＝(|F1M|＋|F1N|＋|MN|)r＝4r， 2所以要使S取最大值，只需S△F1MN最大． 1 又S△F1MN＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|，设直线l的方程为x＝ty＋1， 2x2y2 将x＝ty＋1代入＋＝1可得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0(*)， 43因为Δ>0恒成立，所以方程(*)恒有解， －6t－9 故y1＋y2＝2，y1y2＝2. 3t＋43t＋4S△F1MN＝|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝ 12t2＋1 . 3t2＋4 记m＝t2＋1(m≥1)， 12m S△F1MN＝2＝ 3m＋1 在[1，＋∞)上递减， 13m＋ m 2 12 9π3? 所以当m＝1即t＝0时，(S△F1MN)max＝3，此时直线l的方程为：x＝1，Smax＝π?＝.12分 ?4?161 (21) (本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋x2－(m＋2)x，m∈R. 2(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)设a，b是函数f(x)的两个极值点，其中a e2 ②是否存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于－？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说 2明理由． x2－（m＋2）x＋11 【解析】(Ⅰ) f′(x)＝＋x－(m＋2)＝(x>0)． xx1 ∵x>0，∴＋x≥2， x 1 当m＋2≤2即m≤0时，f′(x)＝＋x－(m＋2)≥0在(0，＋∞)上恒成立， x所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； x2－（m＋2）x＋1m＋2－m2＋4m 当m＋2>2即m>0时，f′(x)＝＝0有两个不等正根和 x2m＋2＋m2＋4m ， 2 ?m＋2－m2＋4m??m＋2＋m2＋4m?在?0，?，?，＋∞?上f′(x)>0， 22?????m＋2－m2＋4mm＋2＋m2＋4m? 在??上f′(x)<0， ，22???m＋2－m2＋4m??m＋2＋m2＋4m? 所以函数f(x)在?0，?，?，＋∞?上单调递增， 22?????m＋2－m2＋4mm＋2＋m2＋4m? 在??上单调递减， ，22??综上所述：当m≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ?m＋2－m2＋4m??m＋2＋m2＋4m? 当m>0时，函数f(x)在?0，?，?，＋∞?上单调递增， 22?????m＋2－m2＋4mm＋2＋m2＋4m? 在??上单调递减.4分 ，22??(Ⅱ)①因为a，b是函数f(x)的两个极值点，其中a 由(Ⅰ)知m>0且a，b是方程x2－(m＋2)x＋1＝0的两根，则a＋b＝m＋2，a·b＝1， 111 所以f(a)＋f(b)＝lnab＋(a2＋b2)－(m＋2)(a＋b)＝[(a＋b)2－2ab]－(m＋2)(a＋b)＝－(m＋2)2－1< 222－3， 所以f(a)＋f(b)的取值范围是(－∞，－3).8分 e2 ②假设存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于－， 2 由①可知方程x2－(m＋2)x＋1＝0有两个不等正根a，b，且ab＝1， 所以必有0 所以函数f(x)的极小值为f(b)＝lnb＋b2－(m＋2)b＝lnb－b2－1. 221 设g(x)＝lnx－x2－1(x>1)， 21－x21 则g′(x)＝－x＝<0， xx e2 于是g(x)在(1，＋∞)上单调递减，而g(e)＝－， 2e2 要使得函数f(x)的极小值大于－，[] 2e2e2 即使f(b)>－，即g(b)>－＝g(e)， 22∴b 111 2，e＋?，即m∈?0，e＋－2?. 又m＋2＝b＋∈?e?e??b?e2 所以存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于－， 2 1 0，e＋－2?.12分 此时m∈?e?? 请考生在第(22)～(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 过⊙O外一点P作⊙O的两条割线PAB，PMN，其中PMN过圆心O，过P再作⊙O的切线PT，切点为T.已知PM＝MO＝ON＝1. (Ⅰ)求切线PT的长； AM·BM (Ⅱ)求的值． AN·BN 【解析】(Ⅰ)由切割线定理可知PT2＝PM·PN＝1×3＝3， 所以PT＝3.4分 (Ⅱ)∵∠ABM＝∠ANM，∠BPM＝∠NPA， BMPB∴△PAN∽△PMB，∴＝， ①6分 ANPN∵∠PAM＝∠PNB，∠PMA＝∠PBN， AMPA ∴△PAM∽△PNB，∴＝， ②8分 BNPNBM·AMPB·PAPM·PN1 由①②，可知＝＝＝.10分 AN·BNPN2PN23(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐标方程 ?x＝1－2t 为ρ＝6cosθ＋2sinθ，直线l的参数方程为?(t为参数)． ?y＝2＋2t (Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程； (Ⅱ)设点Q(1，2)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|·|QB|的值． 【解析】(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，所以x2＋y2＝6x＋2y，即曲线C的直 ?x＝1－2t角坐标方程为x2＋y2－6x－2y＝0.由?，消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y－3＝0.5分 ?y＝2＋2t ?x＝1－22t′(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为?(t′为参数)，7分 2 ?y＝2＋2t′代入曲线C的直角坐标方程x2＋y2－6x－2y＝0得t′2＋32t′－5＝0.9分 由韦达定理，得t′1t′2＝－5，则|QA|·|QB|＝|t′1t′2|＝5.10分 (24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|＋4x，a>0.[.] (Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥2x＋1的解集； (Ⅱ)若x∈(－2，＋∞)时，恒有f(2x)≥7x＋a2－3，求实数a的取值范围． ?x－2≥－2x＋1?2－x≥－2x＋1??【解析】(1)f(x)≥2x＋1，即|x－2|≥－2x＋1，即?，或?， ??x－2≥0x－2<0?? 解得{x|x≥－1}．(5分)[] (2)f(2x)≥7x＋a2－3可化为f(2x)－7x≥a2－3，令F(x)＝f(2x)－7x， ax≥?3x－a??2? 因为F(x)＝f(2x)－7x＝|2x－a|＋x＝，由于a>0，x∈(－2，＋∞)， ax a?aaa2 所以当x＝时，F(x)有最小值F?＝，若使原命题成立，只需≥a－3，解得a∈(0，2].10分 ?2?222 高考模拟数学试卷 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。 4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。 第I卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案涂在答题卡上. 1.若复数z满足iz?4?5i（i为虚数单位），则z的共轭复数z为 A. 5?4i B. ?5?4i C. 5?4i D. ?5?4i 2.已知集合M??xA. ??2,3? ?x?2??0?，集合N??x?2?x?3?，则M?N为 ?x?3?B. ??3,?2? C. ??2,2? D. ??3,3? 3.已知a，b，c，d为实数，且c?b，则“a?b”是“a?c?b?d”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 后的产品净重范 围 是 4.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测（单位：克）数据绘制的频率分散直方图，其中产品净重的 ?96,106?，样本数据分组为 样本中产品净并且小于102 ?96,98?,?98,100?,?100,102?,?102,104??104,106?.已知 重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克克的产品的个数是 A.90 B.75 C.60 D.45 5.已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 uuuruuuruuuruuurAB??2,4?,AC??1,3?,则AD?BD? B. ?6 C.6 A. ?8 D.8 框内应为 6.某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断A. K?1 C. K?3 B. K?2 D. K?4 7. 一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只ADF-BCE内自由飞翔，由它飞入几何体F-AMCD内的概率为 蝴蝶在几何体 A. 3 4B. 2 3 C. 1 3 D. 1 28.函数f?x??A.没有零点 x?cosx在?0，???内 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 C.有且仅有两个零点 y2x29.已知双曲线C1:2?2?1?a?0，b?0?的离心率为2，若抛物线C2:y2?2px?p?0?的焦点到双曲 ab线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是 A. y?8x 2B. y?2163x 3C. y?283x 3D. y?16x 210.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有（ ）种 A.15 B.18 C.19 D.21 第II卷（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡相应的位置上. 11.设a???01???sinx?cosx?dx，则二项式?ax??的展开式的常数项是_________. x??612. 设曲线y?xn?1n?N*在点?11，?处的切线与 ??x轴的交点的横坐标为 xn,令an?lgxn，则a1?a2?a3?????a99的值为_________. 13.若将函数y?sin2x的图象向右平移????0?个单位，得到的图象关于直线x?值为_________. ?6对称，则?的最小 ?3x?y?6?011?14. 设x,y满足约束条件?x?y?2?0,若z=ax+by?a?0,b?0?的最大值为12，则?的最小值为 2a3b?x?0,y?0?________. 15.若对任意x?A,y?B,?A、B?R?有唯一确定的f?x,y?与之对应，称f?x,y?为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数f?x,y?为关于实数x、y的广义“距离”： （1）非负性：f?x,y??0，当且仅当x?y?0时取等号； （2）对称性：f?x,y??f?y,x?； （3）三角形不等式：f?x,y??f?x,z??f?z,y?对任意的实数z均成立. 今给出四个二元函数：①f?x,y??x?y;②f?x,y???x?y?③f?x,y??222x?y；④ f?x,y??sin?x?y?. 能够成为关于的x、y的方义“距离”的函数的所有序号是___________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知sinB?（1）求求5，且a，b，c成等比数列. 1311的值； ?tanAtanC（2）若accosB?12,求a?c的值。 17.已知等边三角形的边长为 3，点 D，E 分别在边 AB,AC 上，且满足 ADCE1??,将?ADE沿DE折叠到?A1DE的位置，使平面A1DE?平面BCDE，连接A1B,A1C。 DBEA2 （1）证明：A1D?平面BCDE； （2）在线段BD上是否存在点P，使得PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，说明理由。 18.某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间T（单位：年）有关.若T?1，则每台销售利润为0元；若 1?T?3，则每台销售利润为100元；若???，则每台销售利润为200元.设每台该种电视机的无故障使 用时间T?1,1?T?3,T?3这三种情况发生的概率分别为P1,P2,P3,又知P1,P2是方程 10x2?6x?a?0,且P2?P3. （1）求P1,P2,P3,的值； （2）记?表示销售两台这种电视机的销售利润总和，求出?的分布列和数学期望。 19.用部分自然数构造如图的数表：用aij?i?j?表示第i行第j个数?i,j?N??，使得 ai1?aij?i.每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和。 设第 n?n?N??行中的各数之和为bn. （1）写出b1,b2,b3,b4，并写出bn?1与bn的递推关系（不要求证明）； （2）令cn?bn?2，证明?cn?是等比数列，并求出?bn?的通项公式； （3）数列?bn?中是否存在不同的三项bp,bq,br?p,q,r?N??恰好成列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，说明理由。 20.已知函数f?x??mx?lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数。 （1）当m??1时，求f?x?的最大值； （2）若f?x?在区间?0，e?上的最大值为?3，求m的值； 等差数 （3）当m=-1时，g(x)= 1nx1?,试证明函数y=f?x?的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方。 x2x2y221.设椭圆C:2?2?1的左右焦点分别为F1,F2，直线y=x-1过椭圆的焦点F2且与椭圆交于P,Q两点， ab若?F42。 1PQ周长为（1）求椭圆的方程； （2）圆C?：x?y?1直线y?kx?m与圆C?相切且与椭圆C交于不同的两点A,B，O为坐标原点。若 22uuuruuur23OA?OB??，且???，求△OAB的取值范围. 34高考模拟数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净 后，再选涂 其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给也的四个备选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．tan3的值 A．大于0 2B．等于0 C．小于0 2D．不存在 2．已知集合M?{x|x?px?6?0},N?{x|x?6x?q?0},若MIN?{2},则p?q的值为 A．21 B．8 C．7 D．6 3．已知复数z? A． m?2i的虚部为0，则实数m的值为 3?4iB． 8 33 2C．?8 3D．?3 24．在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=∠ADC= A．∠BCD B．∠BDC ?，则下列是直角的为 2C．∠CBD D．∠ACD 5．已知lim A． ?x?0f(x0??x)?f(x0??x)?1,则f?(x0)的值为 3?xB． 1 32 3C．1 D． 3 26．将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数 1y?ax2?2bx?1在(??,]上为减函数的概率是 2 A． 1 4B． 3 4C． 1 6D． 5 67．若数列{an}满足:a1?1,a2?2,anan?2?an?1(n?3),则a2012的值为 8．在△ABC中，三个角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(c?2a)cosB?bcosC?0,2bcosA?c， 则三角形是 A．1 B． 1 2C．2 D．22012 A．直角三角形，但不是等腰三角形 C．等腰三角形，但不是等边三角形 B．等腰直角三角形 D．等边三角形 uuuruuuuruuuruuuuruuur9．已知A、M、B三点共线，mOA?3OM?OB?0,若AM?tBA，则实数t的值为 A． 1 3B． 1 2C．?1 3D．?1 210．已知二元函数f(x,?)?xcos?(x?R,??R),则f(x,?)的最大值和最小值分别为 2x?xsin??27 7C．22,?22 D．22,? A．77,? 77B．7，?2 4二、填空题；本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。 1234511．求值：C5?C5?C5?C5?C5= 。 12．若a?(0,1)且b?(1,??)，则关于x的不等式logab(x?3)?0的解集为 。 ?x?1?13．若不等式组?y?x?1所确定的平面区域的面积为0，则实数a的取值范围为 。 ?x?y?a?14．定义在R上的函数f(x),g(x)分别满足f(x)??f(?x),g(x)?g(x?2),若f(?1)?g(1)?3,且 g(2nf(1))?nf(f(1)?g(?1))?2(n?N*),则g(0)= 。 15．设直线ax?by?c?0(c?0)与抛物线y?2x交于P、Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF 分别交抛物线点M、N，则直线MN的方程为 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分13分） 已知函数f(x)?4sin?xsin2(2?x2??4)?cos2?x,其中??0. （1）当??1时，求函数f(x)的最小正周期； （2）若函数f(x)在区间[? 17．（本小题满分13分） 甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次，即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为 ?2?,]上是增函数，求?的取值范围。 2321，乙获胜的概率为，假定各33次比赛相互独立，比赛经ξ次结束，求： （1）ξ=2的概率； （2）随机变量ξ的分布列及数学期望。 18．（本小题满分13分） 如图18图，已知AA1//BB1//CC1，且AA1=BB1=2CC1=2，AA1⊥面A1B1C1，△A1B1C1是边长为2的正三角形，M为BC的中点。 （1）求证：MA1⊥B1C1； （2）求二面角C1—MB1—A1的平面角的正切值。 19．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x2?a(a?0)的定义域为(1,??). x （I）讨论f(x)在其定义域上的单调性； （II）当a?42时，若关于x的方程f(x)?k恰有两个不等实根，求实数k的取值范围。 20．（本小题满分12分） 在直角坐标平面内y轴右侧的一动点P到点(,0)的距离比它到y轴的距离大. （I）求动点P的轨迹C的方程； （II）设Q为曲线C上的一个动点，点B，C在y轴上，若△QBC为圆(x?1)?y?1的外切三角 221212形，求△QBC面积的最小值。 21．（本小题满分12分） 设二次函数f(x)满足：（1）f(x)?0的解集是（0，1）；（2）对任意x?R都有?3x?1?f(x)?6x?2成立。数列{an}满足:a1? （I）求f(?1)的值； （II）求f(x)的解析式； （III）求证： 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 1～5 CADBD 6～10 DCDCA 21,an?1?f(an)(n?N*). 32222???L??3n?1??3. 1?2a11?2a21?2a31?2an10．提示：f?cos?sin??x?2x 22或t≤ ?22，f等于点(sin?,cos?)与点，令?(x?)?t，则t≥2x(t,0) 连线的斜率，用数形结合法即得；故选A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。 11．31 12．(3,??) 13．a≤ 3 14．2 15．4cx?2by?a?0 15．提示：设P(x1,y1),M(x2,y2)，由于PM过焦点F，所以有y1y2??1,x1x2?1， 4再设N(x3,y3)，则有P(1111,?),Q (,?)， 4x2y24x3y3将P点代入直线方程有 abxab??c?0，两边同乘以x2有?2?cx2?0， 4x2y24y2又y2?2x2?y2?22x2baba，所以cx2?y2??0，同理cx3?y3??0， y22424故所求直线为4cx?2by?a?0． 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分13分） 1?cos(?x?解：（Ⅰ）由题可知：f(x)?4sin?x??2)2?cos2?x?2sin?x?1； 当??1时，f(x)?2sinx?1，则：T?2?……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?2sin?x?1；欲使f(x)在[?则有：[??2?2,3]上单调递增， ?2?2,3]?[?2?2?3,]，于是：??(0,]……13分 4?4?417．（本小题满分13分） 解：记“甲在第i次获胜”为事件Ai(i?1,2,?,5,6)?P(Ai)?（Ⅰ）P(??2)?P(A1A2?A1A2)?21,P(Ai)? 335……4分 95 920 81（Ⅱ）?的可能取值为：2、4、6，则：由（Ⅰ）知：P(??2)?P(??4)?P(A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4)?P(??6)?1?P(??2)?P(??4)?16，则?的分布列为：……9分 81? 2 4[ 6 P 5209 168181 因此?的数学期望为：E??2?59?4?2081?6?1626681?81……13分 18．（本小题满分13分） 解：法一：（Ⅰ）取B1C1的中点D，连结A1D，MD，则A1D?B1C1 又由题意可知MD//AA1，所以MD?面A1B1C1， 所以MD?B1C1，所以B1C1?面A1DM，所以B1C1?A1M……6分 （Ⅱ）过D作DN?B1M于N，连结A1N，由（Ⅰ）可知A1D?面BB1C， 由三垂线定理可知?A1ND为二面角C1?B1M?A1的平面角 A3，MD?3BD?MD1D?2，B1D?1，在Rt?MDB1中，DN?1MB?3113所以tan?A3391ND?3?3……13分 13法二：如图建立直角坐标，则A1(0,0,0)B1(2,0,0),B(2,0,2),C1(1,?3,0)，C(1,?3,1)Dyxz 则M(3,?3322,2) （Ⅰ）QuAuuuruuuur(331M?B1C1?2,?2,32)?(?1,?3,0)?0， ?A1M?B1C1……6分 （Ⅱ）取B331C1的中点D(2,?2,0)， 取面B1C1M的法向量(?3,1,0) 设面Ar1B1M的法向量为n?(x,y,z) ?u?Auuurr1B1?n?(2,0,0)?(x,y,z)?2x?0??uuuurr3333x33?rn?(0,3,1) ?A1M?n?(2,?2,2)?(x,y,z)?2?2y?2z?0?cos?C1?B1M?A(?3,1,0)?(0,3,1)1??4?34， MCBA11 所以tan?C1?B1M?A1??19．（本小题满分12分） 39……13分 32(x?3解：（Ⅰ）对f(x)求导得：f?(x)?a23aa)[x?x?(3)2]222；……2分 x2 a?0,x?1,则显然有x2?3aax?(3)2?0,x2?0 22当3a≤ 1时，即a?(0,2]，?x?(1,??)时，f?(x)?0，则：f(x)在(1,??)单调递增； 2aaa?1时，即a?(2,??)；当x?(1,3)时，f?(x)?0，则f(x)在(1,3)单调递减； 222aa,??)时，f?(x)?0，则f(x)在(3,??)单调递增； 22当3当x?(3综上可知：1)a?(0,2]时，f(x)在(1,??)单调递增； 2)a?(2,??)时，f(x)在(1,3aa)单调递减；f(x)在(3,??)单调递增.……6分 222(x?2)(x2?2x?2) （Ⅱ）当a?42时，由（Ⅰ）可知：f?(x)?；于是： 2x当x?(1,2)时，f?(x)?0，则：f(x)在(1,2)单调递减； 当x?(2,??)时，f?(x)?0，则：f(x)在(2,??)单调递增； 当x?(1,??)时，fmin(x)?f(2)?6，f(1)?1?42，limf(x)???； x???欲使方程f(x)?k恰有两个不等实根，则有：k?(6,1?42)……12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题知点P到F(,0)的距离与它到直线x??为y?2x；……4分 （Ⅱ）设Q(x0,y0),B(0,b),C(0,c)，则QB:y?b?2121的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线，方程2y0?bx即(y0?b)x?x0y?x0b?0 x0由直线QB是圆的切线知 |y0?b?x0b|(y0?b)2?x02?1即(x0?2)b2?2y0b?x0?0 2同理，(x0?2)c?2y0c?x0?0所以b,c是方程(x0?2)t?2y0t?x0?0的两根 2?b?c??2y0x,bc??0……8分 x0?2x0?2?SΔQBC4y04x011?|b?c|x0???x0 222(x0?2)x0?22又y0?2x0?SΔQBC2x0x0由题知x0?2?SΔQBC?令t?x0?2则 ?x0?2|x0?2|22S?QBC(t?2)24??t??4≥ 4?4?8当t?2即x0?4时，取“?” tt?ΔQBC面积的最小值为8．……12分 21．（本小题满分12分） f(?1)≤ ?4 ∴ f(?1)??4……2分 解 （Ⅰ）由题可知： ?4≤ （Ⅱ）设f(x)?ax?bx?c(a?0) ∵ f(x)?0的解集为{x0?x?1} ∴ 1??2bc2且?0 ∴ b??a且c?0 ∴ f(x)?ax?ax aa2又f(?1)??4代入f(x)?ax?ax得a?a??4 ∴a??2 ∴ f(x)??2x?2x（Ⅲ） 2……6分 2222??1?2a?(1?2a) ∴ n?1n1?2an?11?2(?2an2?2an)(2an?1)21 ∴ ln(1?2an?1)?2ln(1?2an) ∴{ln(1?2an)}是等比数列． 2n?1 ∵ 0?an? ∴ ln(1?2an)?2lnn?111n?11n?12?ln()2∴ 1?2an?()2 ∴ ?2?32 1?2an333012n?12n?1?Cn n ∴ 2?32?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1≥n?1≥ 2?3n ∴ 2222 2?(31?32???3n)?3n?1 ??????3n?1≥1?2a11?2a21?2a31?2an3(1?3n)n?1?2??3?3n?1?3?3n?1??3 ∴ 原不等式成立．……12分 1?3 高考模拟数学试卷 (满分160分，考试时间120分钟) 参考公式： 柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1.已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝ . 2i 2.已知复数z＝－3i(i为虚数单位)，则复数z的模为 . 1－i 次数 人数 2 20 3 15 则平均每人参加活动的次数为 . 4.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为 . 5.有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 . 6.已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是35cm，则这四棱柱的体积为 cm3. 7.若实数x，y满足x≤y≤2x＋3，则x＋y的最小值为 . 8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x22 l，直线l与双曲线－y＝1的两条 4 个正个，则 4 10 5 5 渐近线分别交于A，B两点，AB＝6，则p的值为 . 9.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x＋t与曲线y＝asinx＋bcosx(a，b，t∈R)相切于点(0，1)，则(a＋b)t的值为 。 10.已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题： ①数列{|an|}是等比数列； ②数列{anan＋1}是等比数列； ?1? ③数列?a?是等比数列；④数列{lga2n}是等比数列. ? n? 其中正确的命题有 个. 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x).当0 →→→→→→12.在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，AB·AC＝3，AC·AD＝2，则|AC＋2AD|的最小值为 . 13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是 . 14.已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x的值为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证： (1) MN∥平面PBC； (2) MD⊥平面PAB. 16.(本小题满分14分) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝2bcosA，cosA＝(1) 求角B的值； (2) 若a＝6，求△ABC的面积. 3 . 3 17.(本小题满分14分) x2y2 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B. ab12 (1) 已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程； 22(2) 已知△ABF的外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值. 18.(本小题满分16分) 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为23m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝ 2π . 3 (1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值. 19.(本小题满分16分) a 已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R). x(1) 讨论函数f(x)的单调性； (2) 设函数f(x)的导函数为f′(x)，若函数f(x)有两个不相同的零点x1，x2. ①求实数a的取值范围； ②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2. 20.(本小题满分16分) 已知等差数列{an}满足a4＝4，前8项和S8＝36. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若数列{bn}满足 k＝1 n(bka2n＋1－2k)＋2an＝3(2n－1)(n∈N*). ①证明：{bn}为等比数列； am3ap?? ②求集合?（m，p）|b＝b，m，p∈N*?. ? m p ? 数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) ?10??10?ab??，N＝??，且(MN)－1＝?4?，求矩阵M. 已知矩阵M＝??1?0????cd? ?2??02? [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) ?x＝t，? 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是?(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为2?y＝t? π θ－?＝2.求： 极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin??4? (1) 直线l的直角坐标方程； (2) 直线l被曲线C截得的线段长. C.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 已知实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤1，求证： 111 ＋＋≥a2＋1b2＋1c2＋1 . 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y. (1) 求为“回文数”的概率； (2) 设随机变量ξ表示，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ). 23.(本小题满分10分) 设集合B是集合An＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”.求： (1) 集合A1的“和谐子集”的个数； (2) 集合An的“和谐子集”的个数. 数学 参考答案 2 1.{0，1，3} 2.5 3.3 4.7 5. 6.54 37.－6 8.26 9.4 10.3 11.2 12.25 4 －4，? 14.337 13.?3?? 15. (1) 在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点， 所以MN∥AD.(2分) 又底面ABCD是矩形， 所以BC∥AD. 所以MN∥BC.(4分) 又BC?平面PBC，MN?平面PBC， 所以MN∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD是矩形， 所以AB⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD， 所以AB⊥侧面PAD.(8分) 又MD?侧面PAD， 所以AB⊥MD.(10分) 因为DA＝DP，又M为AP的中点， 从而MD⊥PA.(12分) 又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A， 所以MD⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC中，因为cosA＝所以sinA＝1－cos2A＝因为acosB＝2bcosA， ab由正弦定理＝，得sinAcosB＝2sinBcosA. sinAsinB所以cosB＝sinB.(4分) 若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cosB≠0. sinB 于是tanB＝＝1. cosB又因为0 所以B＝.(7分) 4(2) 因为a＝6，sinA＝ 6， 36 .(2分) 3 3 ，0 ab6b 由(1)及正弦定理＝，得＝， sinAsinB62 32所以b＝ 32 .(9分) 2 又sinC＝sin(π－A－B) ＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB ＝＝ 6232×＋× 323223＋6 .(12分) 6 113223＋66＋32 所以△ABC的面积为S＝absinC＝×6××＝.(14分) 22264x2y21 17. (1) 因为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为， ab2c1 所以＝，则a＝2c. a2因为线段AF中点的横坐标为所以 a－c2 ＝. 22 2 ， 2 所以c＝2，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6. x2y2 所以椭圆的标准方程为＋＝1.(4分) 86(2) 因为点A(a，0)，点F(－c，0)， 所以线段AF的中垂线方程为x＝a－c . 2 又因为△ABF的外接圆的圆心C在直线y＝－x上， a－ca－c?所以点C?.(6分) ，－ 2??2因为点A(a，0)，点B(0，b)， aba x－?. 所以线段AB的中垂线方程为：y－＝?2b?2?a－cba?a－ca? 由点C在线段AB的中垂线上，得－－＝， 22b?2－2?整理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分) 即(b－c)(a＋b)＝0. 因为a＋b>0，所以b＝c.(12分) cc2 所以椭圆的离心率e＝＝22＝.(14分) a2b＋c 18. (1) 如图1，过点O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离. π 在Rt△O2OC中，∠O2OC＝，CO2＝3， 3所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2. 所以O1P＝R＋OO1＝R＋O1O2－OO2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5m.(4分) (2) 在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P. 当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和； 当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离. 2 由(1)知，在Rt△OO1B中，OB＝OO21＋O1B＝23. 以B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图2所示的坐标系. ππ①当点P在劣弧CD上时，<θ≤. 62π 由∠OBx＝θ＋，OB＝23， 6由三角函数定义， ?θ＋π?，23sin?θ＋π??， 得点O?23cos??6??6?? π θ＋?.(8分) 则h＝2＋23sin??6?πππ 所以当θ＋＝即θ＝时，h取得最大值2＋23.(10分) 623π ②如图3，当点P在线段AD上时，0≤θ≤. 6设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中， DB＝BC2＋CD2＝27， 2321427sinφ＝＝，cosφ＝＝. 772727 由∠DBx＝θ＋φ，得点D(27cos(θ＋φ)，27sin(θ＋φ)). 所以h＝27sin(θ＋φ)＝4sinθ＋23cosθ.(14分) πππ 又当0<θ<时，h′＝4cosθ－23sinθ>4cos－23sin＝3>0. 666π 0，?上递增. 所以h＝4sinθ＋23cosθ在??6?π 所以当θ＝时，h取得最大值5. 6 因为2＋23>5，所以h的最大值为2＋23. ?4sinθ＋23cosθ， 0≤θ≤6，故h＝? πππ???2＋23sin?θ＋6?，6<θ≤2. 艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m.(16分) π 19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝①当a≤0时，f′(x)>0成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ②当a>0时， (ⅰ) 当x>a时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0 1 依题意知f(a)＝1＋lna<0，解得0 e 一方面，由于1>a，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a，1)上不间断. 所以函数f(x)在(a，＋∞)上有唯一的一个零点. 11 另一方面，因为0 ee111 f(a2)＝＋lna2＝＋2lna，令g(a)＝＋2lna， aaa1122a－1 当0 eaaa1?1 所以f(a2)＝g(a)＝＋2lna>g??e?＝e－2>0. a 又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a2，a)上不间断， 所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点. 1 0，?.(10分) 综上，实数a的取值范围是??e?x－a . x2 aa?aa ②设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－＋1－＝2－??x1＋x2?. x1x2 ?lnx＋x＝0，又?则p＝2＋ln(xx).(12分) a ?lnx＋x＝0， 1 1 12 2 2 a 下面证明x1x2>a2. 不妨设x1 >a2，即证 a2x1>. x2 a2 因为x1，∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数， x2a? 所以只要证f??x2?>f(x1). a?又f(x1)＝f(x2)＝0，即证f??x2?>f(x2).(14分) a?xa设函数F(x)＝f?－f(x)＝－－2lnx＋2lna(x>a). ?x?ax（x－a）2所以F′(x)＝>0， ax2 所以函数F(x)在(a，＋∞)上为增函数. 所以F(x2)>F(a)＝0， a?所以f??x2?>f(x2)成立. 从而x1x2>a2成立. 所以p＝2＋ln(x1x2)>2lna＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2成立.(16分) 20. (1) 设等差数列{an}的公差为d. 因为等差数列{an}满足a4＝4，前8项和S8＝36， a＋3d＝4，??a1＝1，?1? ?所以?解得 8×7 ?d＝1.???8a1＋2d＝36，所以数列{an}的通项公式为an＝n.(3分) (2) ①设数列{bn}的前n项和为Bn. 2 2 2 2 由③－④得 3(2n－1)－3(2n1－1)＝(b1a2n－1＋b2a2n－3＋…＋bn－1a3＋bna1＋2n)－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋bn－1a1＋2n－2)＝[b1(a2n－3＋2)＋b2(a2n－5＋2)＋…＋bn－1(a1＋2)＋bna1＋2n]－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋bn－1a1＋2n－2)＝2(b1＋b2＋…＋bn－1)＋bn＋2＝2(Bn－bn)＋bn＋2. － 所以3·2n1＝2Bn－bn＋2(n≥2，n∈N*)， 又3(21－1)＝b1a1＋2，所以b1＝1，满足上式. 所以2Bn－bn＋2＝3·2n1(n∈N*)，⑤ (6分) 当n≥2时，2Bn－1－bn－1＋2＝3·2n2，⑥ 由⑤－⑥得，bn＋bn－1＝3·2n2.(8分) bn－2n1＝－(bn－1－2n2)＝…＝(－1)n1(b1－20)＝0， 所以bn＝2n1， － － － － － － － － bn＋1 ＝2， bn 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.(10分) ②由 am3apm3p3p－ ＝，得m－1＝p－1，即2pm＝. bmbpm22 anann记cn＝，由①得，cn＝＝n－1， bnbn2所以由 cn＋1n＋1＝≤1，所以cn≥cn＋1(当且仅当n＝1时等号成立). cn2n am3ap＝，得cm＝3cp>cp， bmbp 所以m 设t＝p－m(m，p，t∈N*)， 由2p －m ＝ 3p3t，得m＝t. m2－3 当t＝1时，m＝－3，不合题意； 当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意； 9 当t＝3时，m＝，不合题意； 5当t＝4时，m＝ 12 <1，不合题意. 13 <1. 2t－33t 下面证明当t≥4，t∈N*时，m＝不妨设f(x)＝2x－3x－3(x≥4)， 则f′(x)＝2xln2－3>0， 所以函数f(x)在[4，＋∞)上是单调增函数， 所以f(x)≥f(4)＝1>0， 所以当t≥4，t∈N*时，m＝ <1，不合题意. 2t－33t am3ap 综上，所求集合{(m，p)|＝，m，p∈N*}＝{(6，8)}.(16分) bmbp ?10?－?， 21.A.由题意知(MN)1＝?4 ???02??40? ?.(4分) 则MN＝?1 ?0??2? ?10?10??－1??因为N＝?.(6分) ?01?，则N＝??02??2??40?1040??????所以矩阵M＝?＝??.(10分) ?01???02??01??2? ππ B. (1) 直线l的极坐标方程可化为ρ(sinθcos－cosθsin)＝2，即ρsinθ－ρcosθ＝2. 44又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(4分) ??x＝t， (2) 曲线C?(t为参数)的普通方程为x2＝y. 2?y＝t? 2??x＝y，由?得x2－x－2＝0， ?x－y＋2＝0? 所以直线l与曲线C的交点A(－1，1)，B(2，4).(8分) 所以直线l被曲线C截得的线段长为AB＝（－1－2）2＋（1－4）2＝32.(10分) C.由柯西不等式，得 [(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)](1 )2＝9，(5分) 2 c＋1所以 111999＋＋≥≥＝.(10分) a2＋1b2＋1c2＋1a2＋b2＋c2＋31＋34 111112＋12＋1＋＋)≥(a＋b＋c2＋122222a＋1b＋1c＋1a＋1b＋1 22. (1) 记“是‘回文数’”为事件A. 9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88. 2 所以事件A的概率P(A)＝.(3分) 9 (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2. 2 由(1)得P(A)＝.(5分) 9 设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立. 205 根据已知条件得，P(B)＝2＝. C99 2528 P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－)×(1－)＝； 9981 543252 1－?＝； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－)×＋×?999?9?812510 P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝×＝(8分) 9981所以，随机变量ξ的概率分布为 ξ P 0 28 811 43 812 10 81所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0× 2843107 ＋1×＋2×＝.(10分) 8181819 23. (1) 集合A1＝{1，2，3}的子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 其中所有元素和为3的整数倍的集合有?，{3}，{1，2}，{1，2，3}， 所以A1的“和谐子集”的个数等于4.(3分) (2) 记An的“和谐子集”的个数等于an，即An有an个所有元素和为3的整数倍的子集； 另记An有bn个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有cn个所有元素和为3的整数倍余2的子集. 由(1)知，a1＝4，b1＝2，c1＝2. 集合An＋1＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n，3n＋1，3n＋2，3(n＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1))： 第一类：集合An＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}的“和谐子集”，共an个； 第二类：仅含一个元素3(n＋1)的“和谐子集”，共an个； 同时含两个元素3n＋1，3n＋2的“和谐子集”，共an个； 同时含三个元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共an个； 第三类：仅含一个元素3n＋1的“和谐子集”，共cn个； 同时含两个元素3n＋1，3(n＋1)的“和谐子集”，共cn个； 第四类：仅含一个元素3n＋2的“和谐子集”，共bn个； 同时含有两个元素3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共bn个， 所以集合An＋1的“和谐子集”共有an＋1＝4an＋2bn＋2cn个. 同理得bn＋1＝4bn＋2cn＋2an，cn＋1＝4cn＋2an＋2bn.(7分) 所以an＋1－bn＋1＝2(an－bn)，a1－b1＝2， 所以数列{an－bn}是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以an－bn＝2n.同理得an－cn＝2n. 2 又an＋bn＋cn＝23n，所以an＝×2n＋ 3 ×23n(n∈N*).(10分) 高考模拟数学试卷 一、填空题（40分） 1、已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{2，3，4，5，6}，则A∪B＝ A、{1，2，3，4} C、{1，2，3，4，5，6} C、{2，3，4，5，6} D、{3，4} 2、复数z满足z＋1＝2＋i（i为虚数单位），则z（1－i）＝ A、2 B、0 C、1＋i D、i 5253、若(x?1)?a0?a1(x?1)?a2(x?1)?????a5(x?1)，则a0＝ A、1 B、32 C、－1 D、－32 4、在△ABC中，∠A＝ ?3，AB＝2，且△ABC的面积为3，则边AC的长为 2 A、1 B、3 C、2 D、1 5、在等比数列{an}中，已知a2?a3＝1，a4?a5＝2，则a8?a9等于 A、22 B、4 C、8 D、16 6、已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x?R，都有f（x＋4）＝f（x）， 若f（－1）＝2，则f（2013）等于 A、2012 B、2 C、2013 D、－2 7、已知函数f(x)?lg(x2?anx?bn)，其中an,bn的值序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、设命题p：“若对任意x?R，｜x＋1｜＋｜x－2｜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点条件是存在角?，使 ＞a，则a＜共线的充要由如图的程有 uuuruuuruuuur22MB?sin?gMA?cos??MC”，则 A、p?q为真命题 B、p?q为假命题 C、?p?q为假命题 D、?p?q为真命题 二、填空题（30分） （一）必做题 9、点P是圆x2＋y2＋2x－3＝0上任意一点，则点P在第一象限的概率为＿＿＿＿ 10、某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表： 由最小二乘法求得回归方程为$y＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为＿＿＿＿ ?x?y?4?x?y?2?11、设变量x，y满足约束条件?，则其目标函数z＝mx＋y x?0???y?0（3,1）处取得最大值，则m的取值范围是＿＿＿ 12、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图＝＿＿＿＿ 13、已知点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与双曲线C2： 仅在点 中的x x2y2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心2ab率等于＿＿＿＿ （二）选做题 14、在极坐标系中，直线?sin??2与圆??2cos?相交的弦长为2＿＿＿＿ 垂直平分 ?所对的弦长CD＝3，弦AB是线段CD的15、如图圆上的劣弧CBD线，AB＝2，则线段AC的长度为＿＿＿＿ 三、解答题（80分） 16、（本小题满分12分） 已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?（1）求函数f（x）的表达式； （2）若f(?? 17、（本小题满分12分） (1)求P。 (2)求签约人数?的分布列和数学期望值。 ?2)的部分图象如图所示。 1?)?(??(0,))，求tan?的值。 1232? 18、（本小题满分14分） 如图，矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。 （1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值； （2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值。 19、（本小题满分14分） 已知各项为正的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有a2an?S2?Sn （1）求a1的值； （2）求数列{an}的通项公式； ?8a1?（3）若数列?log10?的前n项和为Tn，求Tn的最大值。 an?? 20、（本小题满分14分） y2?x2＝1上的动点，以M0为切点的切线l0与直线y＝2相交 如图，已知点M0（x0，y0）是椭圆C：2于点P。 （1）过点M0且l0与垂直的直线为l1，求l1与y轴交点纵坐标的取值范围； （2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM0为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。 21、（本小题满分14分） 已知函数f（x）＝e－1，g(x)?xx?x，其中e是自然对数的底，e＝2.71828…。 （1）证明：函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间（1,2）上有零点； （2）求方程f（x）＝g（x）根的个数，并说明理由； （3）若数列{an}（n?N*）满足a1?a(a?0)(a为常数），f(an?1)?g(an)， 证明：存在常数M，使得对于任意n?N*，都有an?M 参考答案 一、选择题 1、B 2、A 3、B 4、A 5、C 6、D 7、C 8、C 解析： uuuruuuruuuur22P正确，q错误：MB?sin?gMA?cos??MC， <==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC, ==>A,B,C三点共线。反之，不成立。例如，A(0,0),B(1,0),C(2,0), BA=(-1,0),BC=(1,0),不存在角a,使向量MA=(sina)^2*向量MB+(cosa)^2*向量 MC。所以这个命题是假的。 二、填空题 9、 13? 10、68 11、（－1,1） 12、3 13、5 248?解析： 14、2 15、3 三、解答题 17、解：（1）至少1人面试合格概率为 7（包括1人合格 2人合格和3人都合格）， 这样都不合格的8概率为1- 71=。 8811 P= 82（1-P）3 = （2）签约人数?取值为0、1、2、3 签约人数为0的概率：都不合格（1- 131）=， 28甲不合格，乙丙至少一人不合格 11111*（1-*）-（1-）3（甲乙丙都不合格）= 22224签约人数为0的概率： 113+= 8481113*（1-*）= 2228签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格： 签约人数为2的概率甲不合格，乙丙全部合格： 1111**（1-）= 2228签约人数为3的概率甲乙丙均合格：（分布表：[ 签约人数 概率 0 1 131）= 282 3 3 83 81 81 8数学期望：E?＝1 18、解：（1）过A1作A1F⊥DE，由已知可得A1F⊥平面BCD，且F为DE中点，以D为原点，DC、DA所在直线为y，x轴建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0），C（0，4，0），E（2，2，0），A1（1，1，2） 求得平面CEA1的一个法向量为m＝（1，1，2） uuuruuuruuur1DC＝（0，4，0），DC?m＝｜DC｜｜m｜cosθ，得cosθ＝ 2所以，直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为 1。 2（2）取A1D中点G，连结MG，EG，由MG∥EB，且MG＝EB，可得BMGE为平行四边形，所以，BM＝EG，而三角形ADE中，EG的长度为定值，所以，BM的长度为定值。 19、 20、解：（1）由椭圆得：y?2(1?x)，y'??2x(2?2x)切线的斜率为：k＝22?12 ?2x02?2x02，所以，直线l1的方程为：y?y0?2?2x022x0(x?x0)， 与y轴交点纵坐标为：y＝2?2x0－22?2x022＝2?2x022 22因为?1?x0?1，所以，0?x0?1，0?2?2x0?2，所以，当切点在第一、二象限时 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：0?y?2，则对称性可知 2l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：?22?y?。 22（2）依题意，可得∠PTM0＝90°，设存在T（0，t），M0（x0，y0） uuuruuuur2y0?y02?2x02由（1）得点P的坐标（,2）,由PTgM0T?0可求得t＝1 2x0所以存在点T（0,1）满足条件。 21、解： （1）由h（x）＝f（x）－g（x）＝e－1－xx?x，得： h（1）＝e－3＜0，h（2）＝e－2－2＞0，所以函数h（x）在区间（1,2）上有零点。 2 （2）由（1）得：h（x）＝ex－1－由g(x)?x?x x?x知，x?[0,??)，而h(0)?0，则x?0为h(x)的一个零点，且h(x)在内有零点，（，12）因此h(x)至少有两个零点。 13??1?111xx解法1：h'(x)?e?x2－1，记?(x)?e?x2－1，则?'(x)?e?x2. 242x当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零点.h(x)有且只有两个零点. 所以，方程f（x）＝g（x）根的个数为2。 （3）记h(x)的正零点为x0，即e0?1?x0?x0. 3（1）当a?x0时，由a1?a，即a1?x0.而a2?a1?a1?x0?x0?e0?1，因此a2?x0，由此猜测： xxan?x0.下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，a1?x0显然成立； ②假设当n?k(k?1)时，有ak?x0成立，则当n?k?1时，由 ak?13?ak?ak?x0?x0?ex0?1知，ak?1?x0，因此，当n?k?1时，ak?1?x0成立. *故对任意的n?N，an?x0成立. （2）当a?x0时，由（1）知，h(x)在(x0,??)上单调递增.则h(a)?h(x0)?0，即a?a?a.从而 3a23?a1?a1?a?a?a3，即a2?a，由此猜测：an?a.下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，a1?a显然成立； ②假设当n?k(k?1)时，有ak?a成立，则当n?k?1时，由 ak?13?ak?ak?a?a?a3知，ak?1?a，因此，当n?k?1时，ak?1?a成立. *故对任意的n?N，an?a成立. *综上所述，存在常数M?max{x0,a}，使得对于任意的n?N，都有an?M. 高考模拟数学试卷 第I卷 选择题（共40分） 一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。 1. 已知集合M＝{x?R|x?x?0}，N?{x|x?2n＋1,n?Z}，则MIN为( ) A．?0? 222B．?0,1? C．?1? D．? 2．双曲线x?my?1的实轴长是虚轴长的2倍，则m=（ ） A．4 B．2 C． 1 2D． 1 4?y?x?3. 设变量x、y满足约束条件?x?y?2，则目标函数z?2x?y的最小值为（ ） ?y?3x?6?A．2 A．24 B．3 B．48 2C．4 C．72 D．9 D． 120 5. 已知二次函数f(x)?ax?bx，则“f(2)?0”是“函数f(x)在上为增函数”的( ) （1，??）A．充分不必要条件 C．充要条件 6．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．7 B． B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22 323 3 C． 47 6D． rrrrrr?7．向量a?(2,0)，b?(x,y)，若b与b?a的夹角等于，则b的最大值为（ ） 6A．4 8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t的速度v(t)?t米/秒，那么此人（ ） A．可在7秒内追上汽车 B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米 B．23 C．2 D．43 3C．不能追上汽车,但其间最近距离为14米 D．不能追上汽车,但其间最近距离为7米 第II卷 非选择题(共110分） 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡指定位置。 9．已知复数z满足(1?i)z?1?i，则复数z?____． 10．执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为____． 11．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的 大正方形，若直角三角形中较小的锐角??随机地 投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是____． 12．如图所示，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经 过圆心． 已知PA?6，AB=?6，现在向该正方形区域内 22，PO?12．则圆O的半径R?____． 3 13．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则?OAB面积的最小值为____，此时，直线l的方程为____． x2?[0,2]，14．已知函数y?f(x)是R上的偶函数，对?x?R，都有f(x?4)?f(x)?f(2)成立．当x1， 且x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)?0，给出下列命题：（1）f(2)?0；（2）直线x??4是函数y?f(x)x1?x2图象的一条对称轴；（3）函数y?f(x)在[?4,4]上有四个零点；（4）f?2015??f?1?.其中所有正确命题的序号为____． 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 已知函数f(x)?sin(2x??6)?2cos2x?1(x?R). （Ⅰ）求f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知f?A??径为3，求a的值. 16.（本小题共13分） （Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数； （Ⅱ） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 17.（本小题共14分） 在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC， 1，且△ABC外接圆的半2DEAC?BC，且AC?BC?BD?2AE?2，M是AB的中点． （Ⅰ）求证：CM⊥EM； （Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N,使得直线MN与平面EMC 所成的角为60?．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由． AMC 18．（本小题共13分） 已知f(x)??12ax?x?ln(1?x)，其中a?0． 2(Ⅰ)若函数f(x)在点(3,f(3))处切线斜率为0，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间； (Ⅲ)若f(x)在?0,???上的最大值是0，求a的取值范围． 19.（本小题共14分） 动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:x?4的距离之比为(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ） 已知定点A(?2,0)，B(2,0)，动点Q(4,t)在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M,N,F三点共线. 20．（本小题共13分） 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （ ） （ ） … 7 12 （ ） （ ） … （ ） （ ） （ ） （ ） … （ ） （ ） （ ） （ ） … （ ） （ ） （ ） （ ） … … … … … … … … 1. 2a1j a2j a3j a4j … … … … … … … … ai1 … ai2 … ai3 … ai4 … ai5 … aij … 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数. （I）写出a45的值； （II）写出aij的计算公式； （III）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N?1可以分解成两个不是1的正整数之积.. 参考答案 一、选择题（每题5分，共40分） 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 A 8 D 二、填空题（每题5分，共30分） 9．?i; 10. 8; 11. 1? 14. （1）（2）（4） 三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分） 15． （本小题共13分） 3; 12. 8 ； 13. 12,2x?3y?12?0; 2 ?31解：（Ⅰ）∵f(x)?sin(2x?)?2cos2x?1?sin2x?cos2x?cos2x ………………2分 622 ? 由?31?sin2x?cos2x=sin(2x?) ………………3分 226?2?2k??2x??6??2?2k?(k?)得，??3?k??x??6?k?(k?) 5分 ∴f(x)的单调递增区间是[? （Ⅱ）∵f(A)?sin(2A? 于是2A? ∴ A??3?k?,?6?k?](k?) ………………7分 ?6)?1???，0?A??，?2A??2?? 2666?6?5? 6?3 ………………10分 ∵?ABC外接圆的半径为3 由正弦定理 a?2R，得 sinA3?3， ………………13分 2 a?2RsinA?23?16．（本小题共13分） 解：（I）设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为p1,p2,p3，则由条件可得： ?p2?2p1? ?p3?3p1?p?p?p?(0.037?0.013)?5?123?1解得，p1?0.125,p2?0.25,p3?0.375. 又因为p2?0.25?12,故n?48 ………………5分 n(II)由（I）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为 5p?p3?(0.037?0.013)?5?, 8?5??3?故X服从二项分布，P?X?k??C3k?????8??8?k3?k ∴随机变量X的分布列为： X 0 27 5121 135 5122 225 5123 125 512p 则EX?0?2713522512515515?1??2??3??，或EX?np?3??． 512512512512888………………13分 17．（本小题共14分） （I）证明： QAC?BC,M是AB的中点?CM?AB． 又?EA?平面ABC，CM?EA． QEAIAB?A?CM?平面AEM ∴CM?EM ………………4分 （Ⅱ）以M为原点，分别以MB,MC为x，y轴，如图建立坐标系M-xyz， 则M(0,0,0),C(0,2,0),B(2,0,0),D(2,0,2),E(-2,0,1) uuuruuuuruuuruuurME=(-2.0.1),MC=(0,2,0),BD=(0,0,2),BC=(-2,2,0) ?ur??2x1?z1?0设平面EMC的一个法向量m=(x1,y1,z1)，则? ??2y1?0ur取x1?1,y1?0,z1?2所以m?(1,0,2) r???2x2?2y2?0设平面DBC的一个法向量n=(x2,y2,z2)，则? ??2y2?0r取x1?1,y1?1,z1?0，所以n?(1,1.0) cosm,n?m?nmn?12?3?6 66. ………………9分 6所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值uuuruuur（Ⅲ）设N(x,y,z)且DN??DC,0???1 ?（x?2,y,z?2)??(?2,2,?2),x?2?2?,y?2?,z?2?2?uuuurMN?(2?2?,2?,2?2?) 0 若直线MN与平面EMC所成的角为60，则 cosMN,m?2?2??2?2?2??32?1????2?2?4?1???22?sin600?3 2解得：?? 1 ，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点. ………………14分 2 18．（本小题共13分） －ax2－?a－1?x解：(Ⅰ)由题意得f ′(x)＝，x∈(－1，＋∞)， x＋1 1 由f ′(3)＝0?a＝． ………………3分 41 (Ⅱ)令f ′(x)＝0?x1＝0，x2＝－1， a①当0 f(x)与f ′(x)的变化情况如下表 x f ′(x) f(x) (－1,0) － 0 0 f(0) 1(0，－1) a＋ 1－1 a0 1f(－1) a1(－1，＋∞) a－ ]Z ] 1∴f(x)的单调递增区间是(0，－1)， a 1 f(x)的单调递减区间是(－1,0)和(－1，＋∞)； a②当a＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)； ③当a>1时，－1 x f ′(x) f(x) 1(－1，－1) a－ ]1－1 a0 1f(－1) a1(－1,0) a＋ 0 0 f(0) (0，＋∞) － ] Z 1∴f(x)的单调递增区间是(－1,0)， a 1 f(x)的单调递减区间是(－1，－1)和(0，＋∞)． a1 综上，当0 a1 f(x)的单调递减区间是(－1,0)，(－1，＋∞)， a1 当a>1，f(x)的单调递增区间是(－1,0)． a1 f(x)的单调递减区间是(－1，－1)，(0，＋∞)． a 当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)． ………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 1 当0 a 1 但f(－1)>f(0)＝0，所以0 a当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0，＋∞)上的最大值为f(0)＝0，符合题意， ∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1． ………………13分 19．（本小题共14分） (x?1)2?y21解： (Ⅰ)由题意得?， ………………2分 |x?4|2x2y2??1. 化简并整理，得 43x2y2??1. ………………5分 所以动点P(x,y)的轨迹C的方程为椭圆43（Ⅱ）当t?0时，点M与B重合，点N与A重合， M,N,F三点共线. ………7分 当t?0时 根据题意：QA:y=(x+2),QB:y=(x-2) t6t2?x2y2??1??43由? ?y?t?x?2??6?t22消元得：3x+(x+2)-12=0 92整理得：(t+27)x+4tx+4t-108=0 该方程有一根为x=-2,另一根为xM,根据韦达定理， 22224t2-10854-2t2-2xM=2,xM=2 t+27t+27?x2y2??1??43由? ?y?t?x?2???2消元得：3x+t(x-2)-12=0 整理得：(t+3)x-4tx+4t-12=0 该方程有一根为x=2,另一根为xN,根据韦达定理， 22222224t2-122t2-62xN=2,xN=2 t+3t+354-2t22t2-6=2当xM=xN时，由2 t+27t+3得：t=9,xM=xN=1，M,N,F三点共线； 当xM12t18tt-6txN时，yM=(xM+2)=2，yN=(xN-2)=2 6t+272t+3kMF18t-6t2yNy6tt2+3=6t ；=M=t+27=k==NFxM-154-2t29-t2xN-12t2-69-t2-1-1t2+27t2+3kMF?KNF，M,N,F三点共线. 综上，命题恒成立. ………………14分 20．（本小题共13分） （I）解：a45=49. ………………3分 （II）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j－1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j－1）， …… 第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列， 因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. ………………7分 （III）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j， 从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1）， 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1）， 从而N=k（2l+1）+l=akl， 可见N在该等差数阵中. 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积 ………………13分 高考模拟数学试卷 注意事项： 1.答题前，务必将自乙的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B格笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题有必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束，将答题卡上交。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 (1?i)21、复数等于 1?iA．1+i B.﹣1﹣i C. 1﹣i D. ﹣1+i 2、对于以下判断 （1）命题“已知x,y?R”，若x?2或y?3，则x + y?5”是真命题。 （2）设f(x)的导函数为f' (x)，若f' (x0)，则x0是函数f(x)的极值点。 （3）命题“?x?R,e﹥0”的否定是：“?x?R,e﹥0”。 （4）对于函数f(x)，g(x)，恒成立的一个充分不必要的条件是f(x)min?g(x)max。 其中正确判断的个数是 A．1 B．2 C．3 D．0 3、执行如右图所示的程序框图，输出的S值为 A． x x 13117 B． C． D． 241410（单位：分） 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x,y的值分别为 A． 5,2 B．5,5 C． 8,5 D．8,8 5、设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若???, m??,n??,则m?n B．若m?a,m//n,n//? ，则???, m???, m??C．若m?n，m??, n??,则???,n??, 则m//n D．若?//?,mm??6、已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2，等差数列{bn}中，b2 = a2，面bn+3+bn-1=2bn+4, (n?2,n?N+), 则bn= A. 2n+2 B.2n C. n-2 D.2n-2 7、△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量p?(sinB,a?c),q?(sinC?sinA,b?a).若???R,使p??q,则角C的大小为 A. ????2???? B. C. D. 36328、节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是 A． 5917 B． C． D． 16164169、己知函数f(x)=x3?a,a?R在[-1，1]上的最大值为M(a) ，若函数g(x)=M(x)-x2?t有4个零点，则实数t的取值范围为。 A. (1, 55) B. (??1, -1) C. (??1, -1)?(1, ) D. (??1, -1)?(1, 2) 4410、设f(x)=ex-ax+ a，x?R,已知斜率为k的直线与y= f(x)的图象交于A(x1,y1), B(x2,y2)(x1?x2)两点，若xe对任意的a<一2，k>m恒成立，则m的最大值为 A. -2+2 B. 0 C. 2+2 D. 2+22 二、填空题：本大题共5小题。每小题5分，共25分，把答答题卡相应位置上。 11、某几何体的三视图如图所示，则其体积为_______。 12、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=- f(x)，则f(-6)_______。 13、函数f(x)=sin2(x+_______。 14、从3名骨科、4名脑外科和4名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_______ (用数字作答)。 15、对于以下命题 ①若()=()，则a>b>0； ②设a, b, c, d是实数，若a2+b2=c2+d2=1，则abcd的最小值为?③若x>0，则((2一x)ex ④若定义域为R的函数y=f(x)，满足f(x)+ f(x+2)=2，则其图像关于点(2,1)对称。 其中正确命题的序号是_______(写出所有正确命题的序号)。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、(12分)已知数列{an}是首项为-1，公差d ?0的等差数列，且它的第2、3、6项依次构成等比数列{ bn}的前3项。 的值为案填在 ????)-sin2(x-), x?(,)的值域是446312a13b1； 4
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