第3讲 数列的综合问题
1．(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N，则a1＝______，
S5＝______. 答案 1 121
??a2＝2a1＋1，
解析 由?
?a2＋a1＝4，?
*
解得a1＝1，a2＝3，
当n≥2时，由已知可得：
an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1， ∴{an}是以a1＝1为首项，以q＝3为公比的等比数列．
1－1×35
∴S5＝＝121.
1－3
2．(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，
n∈N.
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
y254n－3n2
(2)设双曲线x－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.a2n33n－1
(1)解 由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋
1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立． 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1*
.
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得
1 / 16
2a3＝3a2＋2，即2q＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，
由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2
n－1
2
(n∈N)．
n－1
*
(2)证明 由(1)可知，an＝q.
y22
所以双曲线x－＝1的离心率
a2n en＝1＋a2n＝1＋q2n－1
.
54
由e2＝1＋q2＝，解得q＝.
33
因为1＋q 所以1＋q2k－1
2(k－1)
>q2(k－1)
，
>qk－1
(k∈N)．qn－1
＝.q－1
*
于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1
4n－3n
故e1＋e2＋…＋en>.3n－1
1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问
题相结合，考查数学建模和数学应用.
2 / 16
热点一 利用Sn，an的关系式求an 1．数列{an}中，an与Sn的关系：
??S1 an＝?
?Sn－Sn－1 ?
n＝1n≥2
.
2．求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法
求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中，满足
an＋1
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求an
数列的通项an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
2an
例1 数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}
anSn－S2n
的通项公式．
2an
解 由已知，当n≥2时，＝1，
anSn－S2n
所以
2Sn－Sn－1
＝1，
Sn－Sn－1Sn－S2n 即
2
Sn－Sn－1
＝1，
－Sn－1Sn
111
所以－＝.SnSn－12
又S1＝a1＝1，
3 / 16
11
所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．
Sn2
11n＋12 所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.
Sn22n＋1
22
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－
n＋1nn
2
.n＋1
1，n＝1，??
因此an＝?2
－，n≥2.??nn＋1
an.
思维升华 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求
an
跟踪演练1 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝
an＋2
，则数列{an}的通项公式4
是________． 答案 an＝2nan
解析 Sn＝
an＋2a1
，当n＝1时，a1＝S1＝4a1＋2
，解得a1＝2或a1＝0(舍去)．4
an
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝
an＋2an－1an－1＋2
－?a2n－a2n－1＝2(an＋an－1)，44
因为an>0，所以an＋an－1≠0，则an－an－1＝2，
所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2n.
热点二 数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考
查最值问题，不等关系或恒成立问题．
例2 (2015·陕西)设fn(x)＝x＋x＋…＋x－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求fn′(2)；
11?2?n?2? (2)证明：fn(x)在?0，?内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜??.
23?3??3?
(1)解 方法一 由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nx 所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2
2
2
nn－1
，
n－2
＋n·2
n－1
，①
则2fn′(2)＝2＋2×2＋…＋(n－1)2
4 / 16
n－1
＋n·2，②
n ①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋2＋…＋2
2n－1
－n·2
n1－2nnn ＝－n·2＝(1－n)2－1，
1－2
所以fn′(2)＝(n－1)2＋1.
x－xn＋1
方法二 当x≠1时，fn(x)＝－1，
1－x
[1－n＋1xn]1－x＋
则fn′(x)＝
1－x2
x－xn＋1
，
n－[1－n＋12n]＋2－2n＋1n 可得fn′(2)＝＝(n－1)2＋1.
1－22
(2)证明 因为fn(0)＝－1＜0，2??2???1－??n?2?3??3????2?n fn??＝－1＝1－2×??2?3??3?1－3
?2?2
≥1－2×??＞0，
?3?
?2? 所以fn(x)在?0，?内至少存在一个零点，?3?
又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1
＞0，
?2? 所以fn(x)在?0，?内单调递增，?3?
?2? 因此fn(x)在?0，?内有且仅有一个零点an，?3?
x－xn＋1
由于fn(x)＝－1，
1－xan－ann＋1
所以0＝fn(an)＝－1，
1－an111
由此可得an＝＋an＋1＞，
222
12 故＜an＜，23
111?2?n＋11?2?n 所以0＜an－＝an＋1＜×??＝??.
222?3?3?3?
思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利
用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩．
跟踪演练2 (2015·安徽)设n∈N，xn是曲线y＝x*
2n＋2
＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横
坐标．
5 / 16
相关推荐：
loading