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式。

程序的适用性较好，通过符号变量能直接输出需要求的拟合曲线。

程序也存在可以改进的地方，比如可以将整个解法优化为一个函数，对输入的变量，直接进行处理。另外程序的循环算法的效率不高。代码较多。

第二章最小二乘拟合法的检验及应用

2.1 最小二乘法拟合的检验

在上文所给出的拟合程序自带检验部分，分别输入原值与随机的几组数据来进行验证。

最小二乘法的原变量检验（4个点）181614121086420-212原值拟合值3误差4 图2.1.1 最小二乘法的原变量检验（4个点）

Fig.2.1.1 Lagrange interpolation nodes of interpolation（for 4）

我们加大原变量的拟合个数。共有8组数据，得到的拟合曲线如下。

最小二乘法拟合的原变量检验（8个点）1614121086420-2-4原值拟合结果误差12345678

图2.1.2最小二乘法的原变量检验（8个点）

Fig.2.1.2Lagrange interpolation nodes of interpolation(for 8)

从上述原变量检验的结果来看，最小二乘法能较好的拟合出符合原函数规律的区间值。 我们给出一系列由符合标准形式函数所构造的略微偏离原值的变量组，来进行检验。为了实现结果的直观性，保留一个单变量。

构造的函数为x^2+x+1.

y值离原函数值在1的范围内波动，取2,4,10,100,1000组自变量值，并绘制出图像进行比较，来检验最小二乘法的准确性。

拟合得出的该二次项的系数随自变量的组数发生变化，见 二次项值 一次项值 常数项值 表2.1.1 拟合系数随自变量组数变化的规律

Table 2.1.1 fitting coefficient with the number of sets of independent variables

2 0.8608 1.2407 1.8152 4 0.9912 0.9690 0.9790 10 0.9997 0.9712 1.0280 100 1.0000 0.9990 1.0738 1000 1.0000 1.0000 0.9950 21.81.61.41.210.80.60.40.2024101001000二次项值一次项值常数项值 图2.1.3 拟合系数随自变量组数变化的规律

Table 2.1.3 fitting coefficient with the number of sets of independent variables

分析总结：从以上单变量与多变量的多项式的检验结果看，拟合在体现原函数潜在的规律上，具有较好的表现。对于单变量的多项式，在检验中，我们通过随机函数，使因变量在原函数附近波动。随着自变量组数的增多，拟合的结果越来越接近原函数，当自变量达到一个较大数值时，拟合所得曲线基本等于原函数。

对于多变量的最小二乘法拟合，原理与单变量基本类似，我们所采取的用向量来表示正规方程组的方式同样适用于多变量。只需要改变列向量的数值，使其等于某变量的二次项的值。之后用右除法来解出各项的系数。

2.2最小二乘法拟合的实际应用

选取《计算方法引论》上的P65的第3小题，并加以改进为：用最小二乘原理，求一个形如y=a+b*x^2+c*x的经验公式，使其与下列数据相拟合。 x y

表2.2.1 拟合数据表 Table.2.2.1 the data table

运用之前的程序进行拟合，得到的2次项系数为0.0497，常数项系数为0.6882,一次项系数为0.0193.

所得的拟合图线与拟合的节点吻合得较好。

19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8

图2.2.2拟合曲线 Figure.2.2.2 Fitting curve

对二次拟合方法进行简单应用后，我们发现该方法所得的拟合函数与原值吻合得较好。证明最小二乘法在实际运用中能发挥较大的作用。

第三章Laguerre多项式的最小二乘拟合

3.1算法与程序

正交多项式的最小二乘法的拟合，主要改变的是各项的表达式，使其具有较好的独立性，随着项数的增加，能较好地逼近原函数。

故整体算法与之前相仿，求各项系数的方法不变。由于项数是可以改变的，所以要设置项数，及多组符号变量，来使程序简洁。求正交多项式，也应用符号变量表示，注意常数项的特殊情况。故程序如下

syms x f; syms l; m=3;

data=[19 25 31 38 44]; y=[19 25 31 38 44]; l(1)=1; for n=2:m

l(n)=exp(x)/factorial(n-1)*diff(x^(n-1)*exp(-x),x,n-1); end