3进 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3进 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词

命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． 2．全称量词和存在量词 (1)全称量词

“所有的”“任意一个”，用符号“?”表示． (2)存在量词

“存在一个”“至少有一个”，用符号“?”表示． (3)全称命题

含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：?x∈M，p(x)．

(4)特称命题

含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：?x0∈M，p(x0)． 3．含有一个量词的命题的否定

命题 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0)

1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．

2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”． [试一试]

1．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )

A．綈p：?x∈A,2x∈B B．綈p：?x?A,2x∈B C．綈p：?x∈A,2x?B D．綈p：?x?A,2x?B

解析：选C 由命题的否定易知选C，注意要把全称量词改为存在量词．

命题的否定 ?x0∈M，綈p(x0) ?x∈M，綈p(x) 1

2．若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否定为________． 答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0

1．含逻辑联结词命题真假判断： (1)p∧q中一假即假． (2)p∨q中一真必真．

(3)綈p真，p假；綈p假，p真．

2．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．

3．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．

[练一练]

1．(2013·重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( ) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0

2C．存在x0∈R，使得x0≥0 2D．存在x0∈R，使得x0<0

解析：选D 全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.

122．已知命题p：?x0∈R，x0＋2≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p

x0∨q中是真命题的是________．

解析：p是真命题，则q是假命题． 答案：p、p∨q

考点一 1.(2014·皖南八校联考)下列命题中，真命题是( ) x0x01A．存在x0∈R，sin2＋cos2＝

222B．任意x∈(0，π)，sin x>cos x C．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>x D．存在x0∈R，x20＋x0＝－1

2

全称命题与特称命题的真假判断

xx

解析：选C 对于A选项：?x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存

221π13

x－?在x＝，sin x＝，cos x＝，sin x

2

133

x＋?2＋>0恒成立，不存在x0∈R，＋>0恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝??2?44

2使x0＋x0＝－1成立，故D为假命题．

2．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是( ) A．?b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．?b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．?b∈R，f(x)为奇函数 D．?b∈R，f(x)为偶函数

解析：选D 注意到b＝0时，f(x)＝x2是偶函数． [类题通法]

全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称 全称命题 真假 真 假 真 假

考点二 含有一个量词的命题的否定 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真 特称命题 [典例] (2012·辽宁高考)已知命题p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0

[解析] 全称命题的否定为存在性命题，即若p为“?x∈M，q(x)”，则綈p为“?x∈M，綈q(x)”，故选C.

[答案] C [类题通法]

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

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[针对训练]

写出下列命题的否定并判断其真假：

(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根； (2)p：有的三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)p：?x0∈N，x20－2x0＋1≤0.

解：(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．

2因为该方程的判别式Δ＝m0＋4>0恒成立，故綈p为假命题．

(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等． 显然綈p为假命题．

(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直． 显然綈p为假命题．

(4)綈p：?x∈N，x2－2x＋1>0.

显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题．

考点三 含有逻辑联结词的命题 5；命题q：?x∈R，都有2[典例] (1)(2013·安阳一模)已知命题p：?x∈R，使sin x＝x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是( )

A．②④ C．③④

B．②③ D．①②③

(2)(2014·济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是( )

A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞) C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)

[解析] (1)因为对任意实数x，|sin x|≤1，而sin x＝＝0的判别式Δ<0，所以q为真．因而②③正确．

a

(2)命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.

4由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4

4

5

>1，所以p为假；因为x2＋x＋12

[答案] (1)B (2)C

保持本例(2)条件不变，若p∧q为真，则a的取值范围为________. 解析：p∧q为真，∴p和q均为真． ∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)． 答案：[－12，－4]∪[4，＋∞) [类题通法]

1．判断“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题p、q的真假；

(2)依据[必会3个方法中的第一个方法]判断“p∧q”、“p∨q”、“綈p”命题的真假． 2．根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． [针对训练]

1．(2013·安徽“江南十校”联考)对于下述两个命题，p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中真命题的个数为( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选B 容易判断p、q均为假命题．所以“p∨q”为假命题，“p∧q”为假命题，“綈p”为真命题，故真命题的个数为1.

22．(2014·江西盟校联考)已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“?x0∈R，x0＋

4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．(4，＋∞) C．[e,4]

B．[1,4] D．(－∞，1]

解析：选C “p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则?x∈[0,1]，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.

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