《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解

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《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解

撰稿：孙景艳 责编：赵炜

【学习目标】

1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；

2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；

5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.

【知识网络】

【要点梳理】 要点一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x?a，x?a等；另一种是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质：

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不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或

ab?)． cc不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或

要点二、一元一次不等式

1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，

要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0 (a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；

（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

ab?)． cc - 2 -

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（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 【典型例题】 类型一、不等式

1.用适当的符号语言表达下列关系. （1）a与5的和是正数. （2）b与－5的差不是正数. （3）x的2倍大于x. （4）2x与1的和小于零. （5）a的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】

解：（1）a+5>0；（2）b－（－5）≤0； （3）2x>x； （4）2x+1<0；（5）2a－4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… 举一反三：

【变式】用适当的符号语言表达下列关系：

111与3的差是负数.（2）x的与3的差大于2.（3）b的与c的和不大于9. 222111【答案】（1）y?3?0； （2）x?3?2；（3）b?c?9.

222（1）y的

2.用适当的符号填空：

（1）如果a． （2）＜；＜；＜． 【解析】

（1）在不等式a

11b__b. 22 - 3 -

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在不等式a

在a

111b，合并得a??b． 222【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处． 举一反三：

【变式1】用适当的符号填空：

（1）7a+6__7a－6；（2）若ac＞bc，且c＜0，则a b． 【答案】（1）>；（2）＞．

【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例1】 【变式2】判断:

22（1）如果a?b，那么ac?bc；

22（2）如果ac?bc，那么a?b.

【答案】（1）×；（2）√． 类型二、一元一次不等式

3. 解不等式x?3(x?1)x?5?1? 82【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号． 【答案与解析】

解：去分母，得8x+3 (x+1)＞8－4(x－5)， 去括号，得8x+3x+3＞8－4x+20， 移项，得8x+3x+4x＞8+20－3，

合并同类项，得15x＞25， 系数化为1．得x?5． 3 - 4 -