第2章矩阵
（一）
单项选择题（每小题 2分，共20分）
a a 1 a2 3 a1 a2 a3
2a l?设 b1 b2 b3 =2 , 则 2a1-3d 2a2-3b2 3 - 3b3
C
1 C2 C3 C1 C2 C3
A. 4 B. —4 C. 6 D. —6
0 0 0 1
0 ?若 0 a 0 20 2 0 =1 , 则 a = (A )
1 0 0 0 a — 1
C.
1
1 D. A.-
B. 2
2
1 3?乘积矩-1 -1
中兀素c23= （ C
)?
阵
4 一5
B)
.
A. A + B A.
-A
=A
B
B. (AB)」 =BA
-A
A
-j -C. (A 十 B)二
:A + B
D.
(AB)
=A AB
A. A + B = A + B B. AB = n A B A. 1
B. 7
C. 10
D. 8
4?设A, B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（
C. .kA =k A D. kA = (-k)nA
5?设A, B均为n阶方阵, k 0且k =1，则下列等式正确的是（
6?下列结论正确的是( A).
A.
若A是正交矩阵，则 A 4也是正交矩阵
B. 若A, B均为n阶对称矩阵，则 AB也是对称矩阵 C. 若A, B均为n阶非零矩阵，则
AB也是非零矩阵
D.若A, B均为n阶非零矩阵，贝U AB式0
1 3
7?矩阵|
的伴随矩阵为(C).
(D ).
D )?
：2 5 一
1 -3
A. I
-1 3
B. I
[-2 5 一 [2 5 -3
-5一 -5 3
C. I D.
[-2 1」^2 -1
8.方阵A可逆的充分必要条件是（B ）.
A. A - 0 C. A* = 0
D. A* A 0
9?设A, B,C均为n阶可逆矩阵，则
B.
C. A JC J(B J)
io?设A, B,C均为n阶可逆矩阵,
D.
(ACB ) J =( D)?
(BJ) C JAJ
则下列等式成立的是（A ）. B. (A B)B 二 BA B2 D. (2ABC) J2C B A
A. (A B)2二 A2 2AB B2
C. (2ABC)」=2C
（二）填空题（每小题 2分，共
20 分）
1. 1 0 -1
2. 1
是关于X的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是
-1
3?若A为3 4矩阵, 4?二阶矩阵A二
21
5?设
B为2 5矩阵，切乘积 AC B ?有意义，则
1 I
5
5 x 4矩阵.
15
1
I 1
一3
0
0〕
_0 6
4 ，则(A B )
83
5 -1
6.设 A, B均为3阶矩阵，且 7.设 A, B均为3阶矩阵，且
B = —3，贝U -2AB =72 -1, B
-3，贝U -3(AB')2
8?若
1 a ^0 1
2-12
为正交矩阵，则
9?矩阵4
'0
??设A, A2是两个可逆矩阵，则
（三）解答题（每小题 8分，共
2] 1?设
的秩为
[A1 O JO A2 一 \：O A24一 48分)
AJ1
4 1 -1
，求⑴ A B :⑵ A C :⑶ 2A 3C :⑷ A 5B :⑸ AB ;
1-3 5 一
A B;3 答案：
26
A 5B
12
=2
2设 A］。_1
=
2A 3C 二
AB= 7
|(23
(AB)C =
280 1
0 1
1 4
=3
「°
-2 1 0 2
，求 AC BC ?
解：AC BC =(A B)C
01 ■3 1 3.已知A = —1
解：3A -2X = B
8
1 1
X = —(3A —B) =— -2
2 2
■1 -1
21
1 ，求满足方程3A —2X=B中的X ? 1
3 -21 5
-1
1
5」7 1'2 1
10 —14 0 3
2 3 0 6
J 11
4.写出4阶行列式
2-53 110
5?用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: . 中元素a4「a42的代数余子式，并求其值
1
答案： ⑴ 2
2
a
2 3 ；⑵/八4卅 4 3 6 =° 1 -2
2
2 1 0
2 0
_1
2
3 1
42
4 1
-2
=(—)
1 一 1 1 2 -5 3 J 0 -2
2 ; ⑶ -1 1 3 1 a=(一1)4七 1 _1 1 0 1 -5
1
■1 0 0 0
2 0
0 =45 0 6
一
6 1 1 1 1
(
1 0 3
AH I- 2
2 1 _2
2 1 2 0 1
0
1 _ — _2 3
2 2 _ 1
0 0 1
0 1
1 0 2 — 3 1 3 2
Jr1 r2 2r1 r3
■1
2 1 0 0
0 3 0
1 2 ―一
3 6 2 9
2 3 1 _2
0 3 |0
_6
■ =■
1
1
。
1 — 0 9 2 0 9 1 2 2 — 9 1 _ 9 2 2
J
1
1 0 0
0 1 0
0
2亠
上r3J 1 0
0 1
—
9
2 9 1
1 0 0
9
_9
9
_2 2 1
9 9 1 2 9 2 ~9 \
1 9
\
-6 -26 17
(2) A 二
■15 20 —1 -1 0 2 -1 （过程略）
4
-1
-
5 3
■
0 1 1 0 1 1 6.求矩阵
1 1 0 1 1 0 0
1
0 1 2 1
0 1
的秩.
2 1 1 3 2 0 1
0 1 1 0 1 们
宀七
1 1 0 1 1 0 0 2片十4
11
0 1 2 1 0
1
-1
1 1 1
3 2 0 1
一
解：
2
1 0 1 1 0 1
0
-1 -1
-1 1 一
0
（四）证明题（每小题 4分，共12分）
（7?对任意方阵 A，试证A A ?是对称矩阵. 证明：
A A'）'=A' （A'）'= A' A=A A'
.A A是对称矩阵
8?若A是n阶方阵，且AA =\\ , 证明：；A是n阶方阵，且AA
AA| |AA
=A = 1 或 A = -1
1
9?若A是正交矩阵，试证 A ?也是正交矩阵. 证明：；9 _9
9
J
■1 -1 0
-1 1 「°
0
-1
1
们
■
-1 -1
工2
r4
1 -1
0
A是正交矩阵
1 1 -1
-1 -1
1
R(A)二 3
-1
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