2019届高三模拟考试数学试卷(有答案)

2019届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|0

3. 已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为 Ｗ. 4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 Ｗ. I←1

While I<8 I←I＋2 S←2I＋3 End While Print S

(第4题)

a

5. 若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“是

b

整数”的概率为 Ｗ.

y2

22

6. 若抛物线y＝2px(p>0)的焦点与双曲线x－＝1的右焦点重合，则实数p的值为

3

Ｗ.

1

7. 在等差数列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为 Ｗ.

2

8. 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 Ｗ.

9. 已知a，b∈R，函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2－x)>0的解集为 Ｗ.

11

10. 已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，则b的最大值为 Ｗ.

ba

π

11. 将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)

6

的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 Ｗ.

→3→

12. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足CP＝PB2

→→→

＋2PA，则CP·AB的值为 Ｗ.

13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以C2(－2，

2－x2＝y2－y2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x1221则实数m的值为 Ｗ.

14. 已知x>0，y>0，z>0，且x＋3y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为 Ｗ.

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

1

π2

在△ABC中，sin A＝，A∈(，π).

32

(1) 求sin 2A的值；

1

(2) 若sin B＝，求cos C的值.

3

16. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点. (1) 求证：EF∥平面A1BD；

(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.

2

17. (本小题满分14分)

如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC

π

所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC＝，AB＝2 km.

6

(1) 若绿化区域△ABC的面积为1 km2，求道路BC的长度；

(2) 若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC＝2π

θ(0<θ≤)，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？

3

18. (本小题满分16分)

x2y22

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点到

ab2

右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝(x－a)ln x(a∈R).

(1) 若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程； (2) 若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值； (3) 若函数f(x)存在两个极值点，求实数a的取值范围.

3

20. (本小题满分16分)

已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an(qnan－1)＋2qnanan＋1＝an＋1(1－qnan＋1)，且an＋1＋an

－

≠0，其中a1＝2，q≠0.记Tn＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋qn1an.

(1) 若q＝1，求T2 019的值；

(2) 设数列{bn}满足bn＝(1＋q)Tn－qnan. ①求数列{bn}的通项公式；

②若数列{cn}满足c1＝1，且当n≥2时，cn＝2bn－1－1，是否存在正整数k，t，使c1，ck－c1，ct－ck成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，请说明理由.

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

A. (选修42：矩阵与变换)

01?20???已知矩阵A＝??，B＝??，求A－1B. ?23??18?

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos θ.以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy，设过点A(3，0)的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率.

C. (选修45：不等式选讲) 已知函数f(x)＝|x－1|.

(1) 解不等式f(x－1)＋f(x＋3)≥6；

b

(2) 若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f().

a

4

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

22. 如图，在三棱锥DABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点.

(1) 求异面直线AE与BC所成角的余弦值； (2) 求二面角ACEB的余弦值.

1*

23. 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝－2a2n＋2an，n∈N. 3

1

(1) 用数学归纳法证明：an∈(0，)；

2

1

(2) 令bn＝－an，求证：

2

5