2005年全国高考理科数学试题及答案-全国卷3(四川、陕西、云南)

????（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB?(0,1,0)是面VAD的法向量………………………………7分 ?设n?(1,y,z)是面VDB的法向量，则

?????x??1?13??3)?0?n?VB?0?(1,y,z)?(?,1,?????n?(1,?1,)……9分 ????????2233?n?BD?0?(1,y,z)?(?1,?1,0)?0?z???3??(0,1,0)?(1,?1,1?21321733?????∴cos?AB,n??)??217，……………………………………11分

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos…………12分

（19）（I）由cosB=

34得sinB?3271?()?，

44 于是

cotA?cotB?1tanA?1tanB

?cosAsinAsin2?cosCsinC?342?sinCcosA?cosCsinAsinAsinC2

=

??sin(A?C)BsinBsinB?1sinB?4727 ?2

(II)由BA?BC?322得ca?cosB?2232,由cosB?,可得ca?2,即b22由余弦定理 b?a?c?2ac?cosB得a?c?b?2ac?cosB?5 ?a+c=3

（20）解：由题意得：a2?即(a1?d2aa14……………………………………………………1分

)2?a(a11?3d)……………………………………………………………3分

又d?0,∴a1?d…………………………………………………………………………4分 又a1,a3,ak1,ak2,?akn?成等比数列, ∴该数列的公比为q?n?1aa31?3dd?3，……………………………………………………6分

所以ak?na1?3…………………………………………………………………………8分

又akn?a1?(kn?1)d?kan1…………………………………………………………10分

∴kn?3n?1

n?1所以数列{kn}的通项为kn?3…………………………………………………………12分

22（21）解：（Ⅰ）∵抛物线y?2x，即x?18y2，∴p?14，

∴焦点为F(0,)………………………………………………………………1分 （1）直线l的斜率不存在时，显然有x1?x2=0………………………………3分

（2）直线l的斜率存在时，设为k， 截距为b 即直线l：y=kx+b 由已知得：

???????y1?2yyx2?k?x1?2x1k2?b11y?x?……………………………………………………5分

22??22???x22x2xx121?k??b?22??? 22?2x1?2x2??1?kx1?x2??22x1?x2?b??k???x1x22??………………………………………………7分

1????x1x22k???x21?14x

22??14?b?0

?b?即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0,)……………………………………8分

81所以当且仅当x1?x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F…………………………9分

（Ⅱ）当x1?1,x2??3时，

直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b………………………………10分

则由（Ⅰ）得：

?x2?22x1??k??b??x1x22 ?1????x1x22k???k????????x1?2x12?b?10………………………………………………11分

??2?2k1?k???4………………………………………………………………13分 ??41?b???4所以直线l的方程为y?

14x?414，即x?4y?41?0………………14分

(22)解：(I)对函数f(x)求导，得

?4x?16x?7(2?x)1222f`(x)???(2x?1)(2x?7)(2?x)2

令f`(x)?0解得 x? 或x?72

当x变化时。f`(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f`(x) f(x) 10 72(0,12) 12 (),1 211 -3 _ 10 -4 + ? 所以，当x?(0,)时， f(x)是减函数；当x?(,1)时，f(x)是增函数。

22当x?(0,1)时，f(x)的值域为[-4，-3]。

（II）对函数g(x)求导，得图表 1

g`(x)?3(x?a)

22?a?1,当x?(0,1)时，g`(x)?3(1?a)?0

2因此当x?(0,1)时。g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时有 g(x)?[g(1),g(0)]

又g(1)?[1?2a?3a2,?2a,g(0)??2a,即当x?[0,1]时有 g(x)?[1?2a?3a2,?2a]

任给x1?[0,1]，f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]，使得g(x0)?f(x1)，则

[1?2a?3a,?2a]?[?4,?3]

2?1?2a?3a2??43即?解得a?

2??2a??3又a?1，所以a 的取值范围为1?a?

32