求证:BF?AE;求二面角B?EF?D的平面角的正切值.
20.(12分)选修4-5:不等式选讲
f(x)?x?已知函数
11?x?22,M为不等式f(x)?2的解集.求M;证明:当a,b?M时,
a?b?1?ab.
21.(12分)已知数列
?an?的前n项和为Sn,Sn?2an?2.求数列?an?的通项公式;设数列?bn?的前
xy1??Tn?1,Tn?Tnb1?1?n?1n2上,若对任意的n?N*,使不等式n项和为,,点在直线2b2b12b2??L?n?ma1a2an成立,求实数m的最大值.
22.(10分)已知函数f?x??x?x?1,且a,b,c?R.
2?1?若a?b?c?1,求f?a??f?b??f?c?的最小值; ?2?若x?a?1,求证:f?x??f?a??2?a?1?.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.A 9.A 10.C 11.B 12.B
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
?x?2???y?2?13.
22?4
14.143 15.4
1n2?n2 16.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (1)见解析.(2) (i)E?X??8.185(ii)需要对当天的生产过程进行检查. 【解析】 【分析】
(1)根据公式得到均值和方差;(2)(i)根据正态分布X:B?10,0.8185?,由公式得到结果;(ii)
??3??162.2,??3??237.8,237.9??162.2,237.8?进而得到结果.
【详解】
(1)由题意得,x?170?0.025?180?0.09?190?0.22?200?0.32?
210?0.24?220?0.08?230?0.025?200,
s2???30??0.025???20??0.09???10??0.22?02?0.32?102?0.24?202?0.08?302?0.025?159;
222225.2?的概率为 (2)(i)由题意得,一件产品中质量指标值位于区间?187.4,0.6826?0.9544?0.8185,则X:B?10,0.8185?,
2∴E?X??10?0.8185?8.185;
(ii)由(I)知,??3??200?12.6?3?162.2,??3??200?12.6?3?237.8, ∵237.9??162.2,237.8?,∴需要对当天的生产过程进行检查. 【点睛】
这个题目考查了频率分布直方图的应用,平均数的计算以及方差的计算;涉及正态分布的应用,属于基础题.
18.(1)见解析(2)|MN|?【解析】 【分析】
(1)曲线C的参数方程消去参数α求出曲线C的普通方程,再设P,Q中点坐标,表示出P坐标代入曲线C1方程,得到C2的直角坐标方程.
(2)联立直线与曲线C2的方程,求得交点横坐标,利用弦长公式求出弦长|MN|.
222 5【详解】
(1)消去参数α得曲线C1的普通方程为?x?3???y?1??4,
设PQ的中点坐标为?x,y?,则P点坐标为?2x,y?,则PQ中点的轨迹方程为?2x?3???y?1??4.
2222(2)∵直线的直角坐标方程为y?x?1; ∴联立y?x?1,?2x?3???y?1??4得x?226?11 5∴MN?1?12x1?x2?【点睛】
222. 5本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识,考查了轨迹问题及弦长公式,考查运算求解能力,是中档题. 19. (Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)【解析】
分析:(1)依题意,在等腰梯形
中,AC=23,AB?4,QBC=2,利用勾股定理可证BC?AC,
9. 7又平面ACEF?平面ABCD,故BC?平面ACEF,即得AE?BC,由四边形ACEF是菱形,即可证明BF?AE; ?AE?FC,可证AE?面BFC,(2)取
的中点G,可证GC?平面ABCD,以
、
、
分别为、、轴建立空间直角坐标系,求
的平面角的余弦值,进而得
得平面BEF和平面DEF的一个法向量,由向量夹角公式得到二面角到二面角详解:
(1)题意,在等腰梯形
中,AC=23,AB?4
的平面角的正切值.
QBC=2,?AC2?BC2?AB2,即BC?AC
∵平面ACEF?平面ABCD,?BC?平面ACEF,而AE??平面ACEF,?AE?BC 连接
,∵四边形ACEF是菱形,?AE?FC,
?AE?面BFC,QBF?面BCF,?BF?AE
(2) 取
的中点G,连接GC,因为四边形
是菱形,且
?CAF=60?.
所以由平面几何易知GC?AC,∵平面ACEF?平面ABCD,∴. GC?平面ABCD 故此可以
、
、
分别为、、轴建立空间直角坐标系,各点的坐标依次为:
C(0,0,0),A(23,0,0),B(0,2,0),D(3,-1,0),E(-3,0,3),F(3,0,3)设平面BEF和平面DEF的法向量分别为n1?a1,b1,c1?,n2?a2,b2,c2?
C(0,0,0),A(23,0,0),B(0,2,0),D(3,-1,0),E(-3,0,3),F(3,0,3)∵BF
?3,?2,3,EF23,0,0
???uuur??BF?n1?0?a1?0??,令b1?3?n1??0,3,2? r?uuu2b?3c1??EF?n1?0?1同理,n2??0,3,?1?
?cos??故二面角
n1?n27? n1?n2130的平面角的正切值为
点睛:本题考查了空间线面垂直的判定,及向量法求二面角,属于中档题. 20.(Ⅰ)M?{x|?1?x?1};(Ⅱ)详见解析. 【解析】
试题分析:(I)先去掉绝对值,再分x??1111,??x?和x?三种情况解不等式,即可得?;(II)2222采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a,b??时,a?b?1?ab.
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