19.（16分）如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
(1)求证:DM∥平面APC; (2)求证:平面ABC⊥平面APC.
20.（16分）如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC. （1）求证：平面ABD⊥平面ABC； （2）求二面角C-BD-A的余弦值.
一、填空题
1.③④⑤⑥ 解析：①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误， 必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确， 因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； ⑤正确，如图，正方体中的四棱锥C，四个 面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知.
2.④ 解析：因为三棱锥A-BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，①正确；平面BD∥平面，而AH⊥平面BD，所以AH⊥平面，③正确；根据对称性知②正确.故填④.
3.④ 解析：经判断可知，①②③均正确.对于④，与直线a垂直的直线有无数多条，这些直线与平面的关系也可能是平行的，如正方体的上底面的两条相邻棱互相垂直，但这两条棱与下底面的关系是平行而不是垂直.
4.④ 解析：因为BC∥DF，所以BC∥平面PDF，①成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以②③均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故④不成立. 5.④ 解析：∵ AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴ ①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴ 平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵ BC∥AD，∴ BC∥平面PAD，∴ 直线BC∥平面PAE也不成立.在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴ ④正确.
6. 解析：如图，连接，AC，易证∥，∴ ∠即为异面直线与 所成的角.设AB=1，则，5，AC= 2， ∴ ，
∴ 异面直线与所成角的余弦值为 .
7. 解析：如图，根据题意，BD⊥平面ABC，取AC的中点E， 因为AD=CD，所以DE⊥AC.因为BE⊥AC，所以∠BED就是 二面角D-AC-B的平面角.因为BE= ，BD=1， 所以 .
8.20π 解析：设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M.
在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，∠ABC＝ （180°-120°）＝30°，AM= =2.因此，所以此球的表面积等于.
9.DM⊥PC(答案不唯一) 解析：∵ PA⊥底面ABCD，∴ PA⊥BD， ∵ 底面ABCD各边都相等，∴ 底面ABCD是菱形，∴ AC⊥BD. 又∵ PA∩AC=A,∴ BD⊥平面PCA，∴ BD⊥PC.
∴ 当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴ 平面MBD⊥平面PCD. 10. 16或272 解析：分两种情况求解：当位于平面，之间时，如图（1），连结，，因为，则，构成平面，则,=.因为∥，所以∥．所以△∽△.所以，即=，所以=16.
（2）当=位于平面同侧时，如图（2），由于=，设，构成平面.因为,=，且∥，所以∥，从而有△∽△.则有，即=，解得=272.综上，=16或272.
11.③ 解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例，如两平面相交、平行等.
12.36 cm 解析：设下底面的半径是则2π=24π，∴ =12,从而可求得=36 cm.
13. ④ 解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则.对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形.对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．
14. （1）（2）（3） 解析：要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．在面ABCD和面上的投影是图乙（1），在面和面上的投影是图乙（2），在面和面上的投影是图乙（3）. 二、解答题
15.证明：（1）连接HG，EF.
在△ABD中，点E，F分别为AB，AD的中点， ∴ EF为△ABD的中位线，∴ EF∥BD. 在△CBD中，CG= BC，CH= DC， ∴ GH∥BD，∴ GH∥EF，
∴ EF与GH可确定一个平面，即E，F，G，H四点共面.
（2）由（1）可知，EFHG为一平面四边形，且EF∥HG，EF≠HG，∴ 四边形EFHG为梯形. EG，FH不平行，不妨设EG∩HF=O， 则O∈直线HF，O∈直线EG.
又直线EG?平面ABC，直线FH?平面ACD， ∴ O∈平面ABC，O∈平面ACD，
∴ O∈平面ABC∩平面ACD. 而平面ABC∩平面ACD=直线AC，
∴ O∈直线AC，∴ 直线FH，EG，AC共点.
16.证明：（1）依题意，折叠前后CD，BG的位置关系不改变，∴ CD∥BG. ∵ E，F分别为线段AC，AD的中点，在△ACD中，EF∥CD，∴ EF∥BG. 又EF?平面ABG，BG?平面ABG，∴ EF∥平面ABG.
（2）将△ADG沿GD折起后，AG，GD的位置关系不改变，∴ AG⊥GD. 又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG=GD， AG?平面AGD，∴ AG⊥平面BCDG.
17.解：（1）∵ BD是圆的直径，∠ABD=60°，
∴ AB=R，AD= R.又△ADP∽△BAD，∴ .∴ PD= =3R.
（2）∵ BD是圆的直径，∴ ∠BCD=90°.又∠BDC=45°，∴ BC=CD= R. 又PC= R，则，∴ CD⊥PD.
又△ADP∽△BAD，∴∠ADP=∠BAD=90°，∴ AD⊥PD. 又AD∩CD=D，∴ PD⊥平面ABCD. ∵ AB·BC·sin（60°+45°）= ， ∴ .
18. （1）证法一：如图（1），取的中点，连接，. 由于∥∥，所以.因此平面即为平面. 连接，
平行
CD，所以平行
且等于CD，
所以四边形为平行四边形， 因此∥. 又∥D，得∥. 而，C?平面， 故∥平面.
证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4， AB∥CD，所以CD平行且等于AF，
因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.
又，，FC?平面，?平面，AD∩=D，AD?平面，?平面所以平面∥平面. 又?平面，所以∥平面.
（2）证明：如图（2），连接AC，
在△FBC中，FC=BC=FB，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB， 因此∠ACB=90°，即AC⊥BC. 又，且，所以AC⊥平面C. 而AC?平面，故平面⊥平面C. 19. (1)证明:∵为中点，为中点，∴∥. 又∵MD?平面，AP平面APC，∴ ∥平面. (2)证明:∵△为正三角形,且为的中点，∴ ⊥. 又由(1)知，∥，∴⊥ 又已知⊥，∴ ⊥平面. ∴ ⊥.又∵ ⊥，∴ ⊥平面. ∴ 平面⊥平面.
20. （1）证明：由题设，知AD=CD=BD，如图，作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC， ∴ O是△ABC的外心，即AB的中点. ∴ O∈AB，即O∈平面ABD. ∴ OD?平面ABD. ∴ 平面ABD⊥平面ABC.
（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC， ∵ △BCD为正三角形，∴ CE⊥BD. 又△BOD为等腰直角三角形，∴ OE⊥BD. ∴ ∠OEC为二面角C-BD-A的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD.∴ OC⊥OE. ∴ △COE为直角三角形.
设BC=a，则CE=，OE=，∴ cos∠OEC==
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