(3)物块B与A第一次碰撞后,运动到传送带上做匀减速运动,速度减为零后做反向的加速运动,根据对称性,离开传送带后的速度v2=v1′,然后与A发生第二次碰撞,且满足
mv2=mv2′+MV2′
111222mv 2=mv2′+MV2′ 222联立解得,v2′=
m-M11
v2=-v2=-2v1 M+m33
11
同理,物块B与A第三次碰撞前的速度v3=-v2′,碰撞后的速度v3′=-v3=-3v1.
33依此类推
1
第n次碰撞后B的速度vn′=-nv1.
314
即n次碰撞后的速度大小为nv1=n m/s.
33
2.如图8所示,一质量m=2 kg的滑块从高h=1.5 m处无初速度 1
下落,沿切线方向进入固定的粗糙圆弧AB,圆弧半径R=1.5 m,
4再经长L=4 m的粗糙平面BC滑上静止于光滑水平地面上质量为
图8
M=4 kg的足够长的长木板,长木板M的上表面与BC面齐平,与C点的间隙可忽略,滑块
滑至C点时的速度vC=6 m/s.当滑块m滑至长木板M上表面的同时施加给M一个大小为F=6 N的水平向右的作用力,经t0=1 s撤去F.已知滑块m与粗糙圆弧AB、粗糙平面BC及M上表面的动摩擦因数均为μ=0.2(g取10 m/s).求: (1)滑块m在粗糙圆弧AB上运动时克服摩擦力所做的功;
(2)滑块m与长木板M的最终速度的大小及滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量.
答案 (1)8 J (2)3 m/s 16.5 J 解析 (1)由动能定理可得:
2mg(h+R)-μmg·L+WfAB=mv C
2
1
2
所以:WfAB=-8 J,即在AB圆弧上克服摩擦力做功为8 J.
(2)设滑块滑上长木板后,相对长木板滑动时加速度大小为a1,此过程中长木板的加速度大小为a2,则有:
μmg=ma1,解得a1=μg=2 m/s
2
F+μmg=Ma2,解得a2=2.5 m/s2
4
当两者速度相等时vC-a1t1=a2t1,解得t1= s
3
因为t0
M的速度v2=a2t0=2.5 m/s
该过程m相对M的位移为
vC+v1v2
s相对=t0-t0=3.75 m
2
2
产生的热量Q1=μmgs相对=15 J
此后由于撤去F,由m、M组成的系统满足动量守恒,有
mv1+Mv2=(M+m)v共
得滑块m与长木板M的最终速度v共=3 m/s 由能量守恒知此过程产生的热量为
222Q2=mv -(M+m)v共 =1.5 J 1+Mv2
1
21212
所以滑块m在长木板M上表面上滑动时所产生的热量
Q总=Q1+Q2=16.5 J
(限时:45分钟)
?题组1 能量观点与动量守恒定律的应用
1.如图1所示,小车质量为M=2.0 kg,带有光滑的圆弧轨道
AB和粗糙的水平轨道BC,一小物块(可视为质点)质量为m =0.5 kg,与轨道BC的动摩擦因数为μ=0.10,BC部分总 长度为L=0.80 m,重力加速度g取10 m/s.
2
图1
(1)若小车固定在水平面上,将小物块从AB轨道的D点由静止释放,小物块恰好可运动到
C点.试求D点与BC轨道的高度差;
(2)若将小车置于光滑水平面上,小物块仍从AB轨道的D点由静止释放,试求小物块滑到
BC中点时的速度大小.
答案 (1)8.0×10 m (2)0.80 m/s
解析 (1)设D点与BC轨道的高度差为h,根据机械能守恒定律有mgh=μmgL 解得:h=μL=8.0×10 m
(2)设小物块滑到BC中点时小物块的速度为v1,小车速度为v2,对小物块和小车组成的系统,根据水平方向动量守恒有:mv1-Mv2=0
-2
-2
L1212根据功能关系有:μmg=mgh-(mv1 +Mv 2)
222
由以上各式解得:v1= MM+mμgL=0.80 m/s.
2.如图2所示,两个圆形光滑细管在竖直平面内交叠,组成“8”字形通道,在“8”字形通道底端B处连接一内径相同的粗糙水平直管AB.已知E处距地面的高度h=3.2 m,一质量
m=1 kg的小球a从A点以速度v0=12 m/s的速度向右进入直管道,到达B点后沿“8”
字形轨道向上运动,到达D点时恰好与轨道无作用力,直接进入DE管(DE管光滑),并与原来静止于E处的质量为M=4 kg的小球b发生正碰(a、b均可视为质点).已知碰撞后a球沿原路返回,速度大小为碰撞前速度大小的1/3,而b球从E点水平抛出,其水平射程
s=0.8 m.(g=10 m/s2)
图2
(1)求碰后b球的速度大小;
(2)求“8”字形管道上下两圆的半径r和R;
(3)若小球a在管道AB中运动时所受阻力为定值,请判断a球返回到BA管道时,能否从A端穿出?
答案 (1)1 m/s (2)0.9 m 0.7 m (3)不能 解析 (1)b球离开E点后做平抛运动
h=gt2 s=vbt
解得vb=1 m/s
(2)a、b碰撞过程,动量守恒,以水平向右为正方向,则有:
12
mva=-m×va+Mvb
解得va=3 m/s
碰前a在D处恰好与轨道无作用力,则有:
2va mg=m
r13
r=0.9 m h-2rR==0.7 m
2
(3)小球从B到D,机械能守恒: 1122mv B=mv a+mgh 2212解得:mvB =36.5 J
2
从A到B过程,由动能定理得:
1212
-Wf=mvB -mv 0
22解得:Wf=35.5 J 从D到B,机械能守恒: 1va21
m()+mgh=mvB′2 23212
解得:mvB′=32.5 J
2
所以,a球返回到BA管道中时,不能从A端穿出. 3.细管AB内壁光滑、厚度不计,加工成如图3所示形状.长
L=0.8 m的BD段固定在竖直平面内,其B端与半径R=0.4 m
1
的光滑圆弧轨道BP平滑连接.CD段是半径R=0.4 m的圆弧,
4
AC段在水平面上,与长s=1.25 m、动摩擦因数μ=0.25的水平 图3
轨道AQ平滑相连,管中有两个可视为质点的小球a、b,ma=6m,mb=2m.开始时b球静止,
a球以速度v0向右运动,与b球发生弹性碰撞之后,b球能够越过轨道最高点P.a球能滑
出AQ.(重力加速度取10 m/s,6=2.45).求: (1)若v0=4 m/s,碰后b球的速度大小; (2)若v0未知,碰后a球的最大速度; (3)若v0未知,v0的取值范围.
答案 (1)6 m/s (2)4.9 m/s (3)5 m/s
解析 (1)设a、b球碰后瞬间速度分别为va1、vb1,碰撞过程中动量守恒、机械能守恒,有
2
mav0=mava1+mbvb1
111222mav 0=mav a1+mbv b1 222解得:va1=
ma-mb2mav0=2 m/s,vb1=v0=6 m/s ma+mbma+mb(2)若满足题设,则a球与b球碰后,a球上升的高度不能超过R+L 12
mav a1max=mag·(R+L) 2
解得va1max=2gR+L=4. 9 m/s
2vb 2
(3)设b球在轨道最高点P处的速度大小为vb2,欲使b球能通过最高点,有mbg≤mb R解得vb2≥Rg=2 m/s
22
b球在上升过程中有mbv b1=mbvb2+mbg·(2R+L)
1
212
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