2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （1）limx?0xln(1?x)?______．
1?cosx【答案】2
【考点】等价无穷小 【难易度】★★ 【详解】
解析：x?0时ln(1?x):x,1?cosx:12x, 2xln(1?x)x2?lim由等价无穷小知：lim=2
x?01?cosxx?012x2（2）微分方程y'??xy(1?x)的通解是______． x【答案】y?cxe(x?0)，其中c为?常数 【考点】变量可分离的微分方程 【难易度】★★★ 【详解】 解析：分离变量得
dy1?x1?dx?(?1)dx， yxx积分得lny?lnx?x?c1 去掉对数及绝对值符号，得y?e（3）设∑是锥面z?______．
【答案】2?
【考点】高斯公式 【难易度】★★★
ln|x|?x?c1?cxe?x(x?0)
x2?y2(0?z?1)的下侧，则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?
Σ?x2?y2?1【详解】解析：补一个曲面?1:?上侧
?z?1设P?x,Q?2y,R?3(z?1)
?P?Q?R???1?2?3?6 ?x?y?z∴
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy???xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy
??1? ???6dxdydz（?为锥面?和平面?1所围区域）
??6V（V为上述圆锥体体积）
?2? 3而??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0（Q在?1上：z?1,dz?0） ?6??1?故
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2??0?2?.
Σ（4）点（2，1，0）到平面3x＋4y＋5z＝0的距离d＝______． 【答案】2
【考点】点到平面的距离 【难易度】★★
【详解】点P(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离
d?解析：按点到平面的距离公式得
Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222
d?|3?2?4?1?5?0|32?42?52?10?2． 50?21?（5）设矩阵A?? ??12??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B?______．
??【答案】2
【考点】抽象型行列式的计算 【难易度】★★ 【详解】
解析：由BA?B?2E化得B(A?E)?2E,两边取行列式,得B(A?E)?2E?4, 计算出(A?E)?2,因此B?2.
（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则
P?max?X,Y??1??______．
【答案】
1 9【考点】连续型随机变量分布函数的计算 【难易度】★★
【详解】
解析：P{max(X,Y)?1}?P{X?1,Y?1}?P{x?1}P{Y?1}?111.?? 339二、选择题：7～14小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f?(x)?0,?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x＞0，则（ ） （A）0＜dy＜?y． （B）0＜?y＜dy． （C）?y＜dy＜0． （D）dy＜?y＜0． 【答案】（A）
【考点】函数单调性的判别；函数图形的凹凸性 【难易度】★★★ 【详解】
解析：方法1：因为f?(x)?0,则f(x)严格单调增加
f??(x)?0, 则f(x)是凹的又Vx?0，故0?dy?Vy.
方法2：用两次拉格朗日中值定理
Vy?dy?f(x0?Vx)?f(x0)?f?(x0)Vx
?f?(?)Vx?f?(x0)Vx
?f??(?)(??x0)Vx
其中x0???x0?Vx,x0???? 由于f??(x)?0，从而Vy?dy?0 又由于dy?f?(x0)Vx?0，故选[A] （8）设f（x，y）为连续函数，则（A）
?π40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（ ）
0221??220dx?1?x2xf(x,y)dy? （B）?dx?0221?x20f(x,y)dy?
（C）
220dy?1?y2yf(x,y)dx? （D）?dy?01?y20f(x,y)dx?
【答案】（C）
【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】 解析：
?π40d??f(rcos?,rsin?)rdr???f(x,y)dxdy．
0D1D的极坐标表示是：0≤r≤1，0???π．见下图． 4
现转换为先x后y的积分顺序． 原式?22?0dy?1?y2yf(x,y)dx．因此选（C）．
（9）若级数
?an?1?n收敛，则级数（ ）
（A）
?|an?1??n|收敛． （B）?(?1)nan收敛．
n?1??（C）
?anan?1收敛． （D）?n?1an?an?1收敛． 2n?1【答案】（D）
【考点】收敛级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法一：因为
??an?1?n收敛，所以
?an?1?n?1也收敛，所以
?(an?1?n?an?1)收敛，
从而
an?an?1也收敛.选[D]. ?2n?1方法二：排除法.
(?1)n?1设?an是条件收敛的级数?nn?1n?1??，于是
?an?1?n??n?1???11n，?(?1)an???， nn?1nn?1?aan?1?nn?1??n?1??(?1)2n?11，它们都发散．选[D]. ???n(n?1)n(n?1)n?1（10）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且??y(x,y)??0．已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0．
（B）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0． （C）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0． （D）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0．
【答案】（D）
【考点】多元函数极值存在的必要条件；拉格朗日乘数法 【难易度】★★★ 【详解】
解析：引入函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，有
?(x,y)?0?Fx?=fx?(x,y)???x??=fy?(x,y)?????Fyy(x,y)?0???F?=?(x,y)?0(1)(2)
?(x0,y0)fy?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x代入（1）得fx?(x0,y0)? Q??y(x0,y0)?0,???????(x,y)?(x,y)y00y00若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故选D.
（11）设?1,?2,L,?s均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是（ ） （A）若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关． （B）若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关． （C）若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关． （D）若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关． 【答案】（A）
【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★ 【详解】
解析：方法1：若?1,?2,L,?s线性相关,则存在不全为0的数k1,k2,L,ks使得
k1?1?k2?2?L?ks?s?0
用A左乘等式两边,得
k1A?1?k2A?2?L?ksA?s?0
于是A?1,A?2,L,A?s线性相关.
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