用轴对称知识求线段和的最小值

浅析用轴对称知识求线段和的最小值

求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：

一、性质推导

例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？

首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，

所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。

在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。

要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线， 也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，

所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。

BAMONLB1

证明：M为L上的任意点 因为BM＝B1M

所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A， 所以，结论成立 二、应用

1 ：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。

解：作出A1B（作法如上图）

过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H， 在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米， 用勾股定理求得A1B的长度为4即PA+PB的最小值为4

2千米。

2千米，

ABLCPDA1H图（1）

2、 如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。

Y654321(2,1)QP(5,5)Y654321(2,1)QP(5,5)-1O-1123456X-1O-112Q1M3456X图（1） 图（2）

解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。

3、 求函数y=x2?6x?10 +

x2?6x?34的最小值。

解：方法（Ⅰ） 把原函数转化为y=

(x?3)2?1

+(x?3)2?52 ，因此可以理

解为在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。

方法（Ⅱ）

如图（9），分别以PM=（3-x）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x）和（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB，两条斜边的长就是PA=PB=(x?3)2?52 (x?3)2?1

和

，因此，求y的最小值就是求PA+PB的最

小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是y的最小值。（6

2）。

B5A1MA1N（3-X）P6（X+3）1G图（9）

三、拓展

（一）三条线段的和最小的问题：

如图3，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站

在∠AOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑