训练目标 (1)利用导数研究函数的常见题型；(2)解题步骤的规范训练． 训练题型 (1)利用导数求切线问题；(2)导数与单调性；(3)导数与极值、最值． (1)求曲线切线的关键是确定切点；(2)讨论函数的单调性、极值、最值解题策略 可通过研究导数的符号用列表法解决；(3)证明不等式、不等式恒成立或有解、函数零点问题都可以转化为函数极值、最值问题. 1．(2016·河北衡水中学调考)f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)－f′(x)＜1，f(0)＝2016，则不等式f(x)＞2015·ex＋1(其中e为自然对数的底数)的解集为________．
22．(2017·福建“四地六校”联考)已知曲线f(x)＝3x3－x2＋ax－1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为________________． 3．(2016·泰州二模)若函数f(x)＝x2|x－a|在区间0,2]上单调递增，则实数a的取值范围是________________．
m4．(2016·扬州期末)若函数f(x)＝lnx－x(m∈R)在区间1，e]上取得最小值4，则实数m的值是________．
15．(2016·南京调研)已知函数f(x)＝3x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________________． ln2x
6．函数y＝x的极小值为________．
7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．
8．(2016·盐城模拟)当x∈－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是__________．
2x
??2x－x?e，x≤0，
9．已知函数f(x)＝?2g(x)＝f(x)＋2k，若函数g(x)恰有两个不同
?－x＋4x＋3，x＞0，
的零点，则实数k的取值范围为________________． 10．(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝ln
1＋x
. 1－x
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
3
?x?
(2)求证：当x∈(0,1)时，f(x)＞2?x＋3?；
??3
?x?(3)设实数k使得f(x)＞k?x＋3?对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值．
??
答案精析
7??
1．(0，＋∞) 2.?3，2?
??
3．(－∞，0]∪3，＋∞) 4.－3e 3
5．(2，4)
解析 因为函数f(x)在(1,2)上有极值，则需函数f(x)在(1,2)上有极值点．
方法一 令f′(x)＝x2＋2x－2a＝0，得x1＝－1－1＋2a，x2＝－1＋1＋2a，因为x1?(1,2)，因此需1＜x2＜2，
33
即1＜－1＋1＋2a＜2，即4＜1＋2a＜9，所以2＜a＜4，故实数a的取值范围为(2，4)．
方法二 f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′?f′?1?＝3－2a＜0，3(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此?解得2＜a＜4，故实数a的
?f′?2?＝8－2a＞0，3
取值范围为(2，4)． 6．0
解析 函数的定义域为(0，＋∞)．
2lnx－ln2x－lnx?lnx－2?
令y＝f(x)，f′(x)＝＝. x2x2令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝e2. f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (0,1) － 1 0 0 (1，e2) ＋ e2 0 4e2 (e2，＋∞) －
ln2x故当x＝1时，函数y＝x取到极小值0. 7．30
解析 由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出，设该商品的毛利润为L(p)，则 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8300－170p－p2)(p－20)
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