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考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
（20）（本小题满分12分）
x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y?kx?a(a＞0)交与M,N两点，
4（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 【答案】（Ⅰ）ax?y?a?0或ax?y?a?0（Ⅱ）存在 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y?kx?a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N(?22,a)，或M(?22,a)，N(2a,a).
x21∵y??x，故y?在x=22a处的到数值为a，C在(22a,a)处的切线方程为
42y?a?a(x?2a)，即ax?y?a?0.
x2故y?在x=-22a处的到数值为-a，C在(?22a,a)处的切线方程为
4 学习好帮手
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y?a??a(x?2a)，即ax?y?a?0.
故所求切线方程为ax?y?a?0或ax?y?a?0. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1,k2. 将y?kx?a代入C得方程整理得x2?4kx?4a?0. ∴x1?x2?4k,x1x2??4a. ∴k1?k2?y1?by2?b2kx1x2?(a?b)(x1?x2)k(a?b)?==. x1x2x1x2a 当b??a时，有k1?k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以P(0,?a)符合题意. ……12分
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x3?ax?1,g(x)??lnx 4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线；
（Ⅱ）用min ?m,n? 表示m,n中的最小值，设函数h(x)?minf(x),g(x)点的个数
??(x?0) ，讨论h（x）零
33535；（Ⅱ）当a??或a??时，h(x)由一个零点；当a??或a??时，h(x)有4444453两个零点；当??a??时，h(x)有三个零点.
44【答案】（Ⅰ）a?【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x分为x?1,x?1,0?x?1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.
1?3x?ax??0?00?试题解析：（Ⅰ）设曲线y?f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)?0，f(x0)?0，即?，4?3x2?a?0?0 学习好帮手
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13,a?. 243因此，当a?时，x轴是曲线y?f(x)的切线. ……5分
4解得x0?（Ⅱ）当x?(1,??)时，g(x)??lnx?0，从而h(x)?min{f(x),g(x)}?g(x)?0， ∴h(x)在（1，+∞）无零点.
55，则f(1)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?g(1)?0,故x=1是h(x)的零点；4455若a??，则f(1)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?f(1)?0,故x=1不是h(x)的零点.
44 当x=1时，若a??当x?(0,1)时，g(x)??lnx?0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.
2(ⅰ)若a??3或a?0，则f?(x)?3x?a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)?1，45f(1)?a?，所以当a??3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当a?0时，f(x)在（0，1）无零点.
4 (ⅱ)若?3?a?0，则f(x)在（0，?aaa）单调递减，在（?，1）单调递增，故当x=?时，333a1a2a??.学优高考网 f(x)取的最小值，最小值为f(?)=3343①
若f(?3a)＞0，即?＜a＜0，f(x)在（0,1）无零点. 343a)=0，即a??，则f(x)在（0,1）有唯一零点； 3431553a)＜0，即?3?a??，由于f(0)?，f(1)?a?，所以当??a??时，f(x)344444②
若f(?③
若f(?5时，f(x)在（0,1）有一个零点.…10分 43535综上，当a??或a??时，h(x)由一个零点；当a??或a??时，h(x)有两个零点；当
444453??a??时，h(x)有三个零点. ……12分 44在（0,1）有两个零点；当?3?a??考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
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（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是
O的直径，AC是
O的切线，BC交
O于E
（I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；
（Ⅱ）若OA?3CE，求∠ACB的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°
考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
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