f(x)?ex(x?1)，给出下列命题：
①当x?0时，f(x)?ex(1?x)； ②函数f(x)有2个零点；
③f(x)?0的解集为(?1,0)?(1,??)； ④?x1,x2?R，都有|f(x1)?f(x2)|?2. 其中正确命题的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】B.
【解析】设x?0，则?x?0，所以f(?x)?e?x(?x?1)，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，故
f(?x)??f(x)?e?x(?x?1)，所以f(x)?e?x(x?1)，故①错误；因为当x?0时，由
解得?1?x?0；当x?0时，由f(x)?e?x(x?1)?0，解得x?1，f(x)?ex(x?1)?0，
故f(x)?0的解集为(?1,0)?(1,??)，故③正确；令f(x)?ex(x?1)?0可解得x??1，
?x当e(x?1)?0时，可解得x?1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(0)?0，?x故函数的零点有3个，故②错误；因为当x?0时，f(x)?e(x?1)，图像过点(1,0)，又'?x''因为f(x)?e(2?x)可知当0?x?2时，f(x)?0；当x?2时，f(x)?0，故函
数在x?2处取到极大值f(2)?1，且当x趋近于0时，函数值趋向于-1；当x趋近于无2e穷大时，函数值趋向于0，由奇函数的图像关于图像关于原点对称可作函数的图像：
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可得函数满足?1?f(x)?1，故有|f(x1)?f(x2)|?2，即④正确.故应选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2016吉林四平一中】已知定义域为R的函数f(x)?a?为 . 【答案】? 1是奇函数，则a的值x4?11 211?0,a??. 22【解析】题意f?x?为奇函数，故f?0??a?14.【2016银川二中模拟】已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,??)上单调递增，且
f(1)?0，则不等式f(x?2)?0的解集是 . 【答案】???,1???3,???
【解析】因为f(x)为偶函数，所以不等式f(x?2)?0等价于f(x?2)?0，又f(x)在
[0,??)上是增函数，所以x?2?1，解得x?1或x?3．
15. 已知【答案】12
为偶函数，则
．
16.【2016吉林一中模拟】已知y?f(x),x?R，有下列4个命题： ①若f(1?2x)?f(1?2x)，则f(x)的图象关于直线x?1对称； ②y?f(x?2)与y?f(2?x)的图象关于直线x?2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(2?x)??f(x)，则f(x)的图象关于直线x?2对称； ④若f(x)为奇函数，且f(x)?f(?x?2)，则f(x)的图象关于直线x?1对称. 其中正确的命题为 .（填序号） 【答案】①②③④
【解析】利用奇偶函数的定义和性质，得f??x?与f?x?的关系，再利用函数图象关于直
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线x?a对称的条件f?2a?x??f?x?可以探讨各命题是否正确．因为
f?1?2x??f?1?2x?，令t?2x,f?1?t??f?1?t?，所以函数f?x?的图象自身关于直
线x?1对称,①对.因为f?x?的图象向右平移2个单位，可得f?x?2?的图象，将f?x?的图象关于y轴对称得f??x?的图象，然后将其图象向右平移2个单位得f?2?x?的图象，所以f?x?1?,f?1?x?的图象关于直线x?2对称,②对．因为f?2?x???f?x?，所以
f?x?4??f?x?，因为f?x?为偶函数，f??x??f?x?，所以
f?4?x??f??x??f?x?，所以f?x?的图象自身关于直线x?2对称,③对．因为f?x?为奇函数，且f(x)?f(?x?2)，所以f?x?2???f?x??f??x?，故f?x?的图象自身关于直线x?1对称,④对．
三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
?2x?2b17. 已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数．
2?a（1）求a,b的值；
1t?0，对任意x?R恒成立，求t取值范围． 211【答案】（1）a?2,b?；（2）t?1或t?-．
222（2）关于x的不等式f(x) ?t?
18．已知函数
f?x??x2?2x?a．
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（1）若函数y?（2）若a?f?x?为偶函数，求a 的值；
1，求函数y?f(x)的单调递增区间． 2【答案】（1）a?0；（2）??1,【解析】（1）任取x?R，则有即(?x)2??1??,[1,??)． 2?f(?x)?f(x)恒成立，
?2|?x?a|?x2?2|x?a|恒成立
?|x?a|?|x?a|恒成立，?平方得：2ax??2ax恒成立?a?0
说明：若用特殊值求解也给满分．如f??1??f?1?
（2）当
1时a? ，
21?2x?2x?1(x?)?1?2f(x)?x2?2|x?|??
12?2x?2x?1(x?)??2??1?,[1,??)． ?2?由函数的图像可知，函数的单调递增区间为??1,?1?说明：函数的单调递增区间写成??1,???1,????2?，
19．已知定义在R的函数f(x)?e?e，其中e是自然对数的底数． （Ⅰ）判断f(x)奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）若关于x的不等式f(m?2)?f(cosx?4sinx)?0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）f(x)是R上的奇函数；（Ⅱ）m??2.
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