2018届苏教版 函数奇偶性与周期性 单元测试

20．【2015届陕西省长安五中等五校高三第二次联考】函数f(x)?sinx.

''*（1）令f1(x)?f(x),fn?1(x)?fn(x),(n?N)，求f2014(x)的解析式；

（2）若f(x)?1?ax?cosx在?0,??上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） f2014?x???sinx；（2）实数a的取值范围a?【解析】

''*试题分析：（1） 因为f1(x)?f(x),fn?1(x)?fn(x),(n?N),故f1?x??f'?x??cosx,

2?. f2?x??f1'?x???sinx,f3?x??f2'?x???cosx,f4?x??f3'?x??sinx,由此可

得,fn?x?是以4为周期,重复出现,故?f2014(x)?f503?4?2(x)?f2(x)??sinx;（2）若

f(x)?1?ax?cosx在?0,??上恒成立，求实数a的取值范围,由f(x)?1?ax?cosx得,sinx?1?ax?cosx,即a?sinx?cosx?1在?0,??上恒成立，令

xg(x)?值.

sinx?cosx?1,只需求出g?x?在?0,??上的最小值即可,可利用导数法来求最小

x试题解析：（1）f1(x)?cosx,f2(x)??sinx,f3(x)??cosx,f4(x)?sinx…周期为4，

?f2014(x)?f503?4?2(x)?f2(x)??sinx.

（2）方法一：即sinx?1?ax?cosx在?0,??上恒成立， 当x?0时，a?R； 当x??0,??时，a?sinx?cosx?1sinx?cosx?1，设g(x)?，

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g'(x)?(cosx?sinx)x?(sinx?cos?1)xcosx?xsinx?sinx?cosx?1?，

x2x2设h(x)?xcosx?xsinx?sinx?cosx?1，

??h'(x)?x(cosx?sinx)，则x?(0,)时h'(x)?0，h(x)增；x?(,??,h(x)减.

44??而h(0)?0,h()?0,h(?)?0，所以h(x)在(,??上存在唯一零点，设为x0，则

44x?(0,x0),h(x)?0,g(x)?0;x?(x0,??,h(x)?0,g(x)?0,所以g(x)在x0处取得最大

值，在x??处取得最小值，?a?g(?)? 综上：?a?2?. 2?. '方法二：设g(x)?sinx?1?ax?cosx，g(x)?cosx?a?sinx?2sin(x??4)?a. ?x??0,??,?2sin(x??4)??1,2. ???g(x)?g(x)min?g(0)?0成立，故a??1；当a??1时，g'(x)?0在?0,??上恒成立，

当a?'2时，g(x)?0在?0,??上恒成立，g(x)min?g(?)?2??a?0得a?2?，无解.

当?1?a? 2时，则存在x0?(0,??使得x?(0,x0)时g(x)增，x?(x0,??时g(x)减，

故g(x)min??g(0),g(?)?，??综上：?a?

?g(0)?022，解得a?，故?1?a?. ???g(?)?02?. 第 10 页 共 10 页