4．若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则1
答案 －
2
解析 ∵1，a1，a2，4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q， 则b2＝1×4＝4，且b2＝1×q>0，∴b2＝2， ∴
2
2
a1－a2
的值为． b2
a1－a2－?a2－a1?1
＝＝－. b2b22
S5
S2
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝. 答案 －11
解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q＝0. ∴q＋8＝0，∴q＝－2，
3
4
S5a1?1－q5?1－q∴＝· S21－qa1?1－q2?
1－q1－?－2?＝＝－11. 2＝1－q1－4
6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝2MB) 答案 39
解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2，
则2＝8×2＝2，∴n＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒)．
n10
13
10
5
5
n 5
题型一 等比数列基本量的运算
31
1．(2018·济南模拟)已知正项等比数列{an}满足a3＝1，a5与a4的等差中项为，则a1的值
22为( ) 11
A．4B．2C.D. 24答案 A
a1q＝1，??31
解析 设公比为q.∵a3＝1，a5与a4的等差中项为，∴?4331
22a1q＋a1q＝2×?22?a1＝4，??
?1q＝，??2
2
?
即a1的值为4，
6
故选A.
2．(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解 (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝q4
2
n－1
.
由已知得q＝4q，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)
n－1
或an＝2
n－1
n－1
(n∈N)．
n*
(2)若an＝(－2)
1－?－2?
，则Sn＝.
3
由Sm＝63得(－2)＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2
n－1
m，则Sn＝2－1.
mn由Sm＝63得2＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.
思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．
题型二 等比数列的判定与证明
例1已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3，且a1＝8. (1)证明：数列{an－3}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝n，求数列{bn}的前n项和Tn.
3解 (1)因为an＋1＝5an－2·3， 所以an＋1－3
n＋1
nnn
an＝5an－2·3－3
nn＋1
＝5(an－3)，
n又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，
7
所以数列{an－3}是首项为5、公比为5的等比数列． 所以an－3＝5，所以an＝3＋5.
nnnnn?5?n(2)由(1)知，bn＝n＝n＝1＋??，
33?3?
5??5?n?1－????3?5?15?25?n?3??5n＋15???则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋??＋1＋??＋…＋1＋??＝n＋＝n＋n－. an3n＋5n?3??3??3?
1－52·323思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法： (1)定义法：若
an＋1
a＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列； n(2)等比中项法：若a2
*
n＋1＝anan＋2(n∈N，an≠0)，则数列{an}是等比数列； (3)通项公式法：若ann＝Aq(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列． 跟踪训练1(2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又???
Sn＋1＝4an＋2， ①??
Sn＝4an－1＋2?n≥2?，②
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1
，
∴
an＋1an3
2
n＋1
－2n＝4
，
故??an?13
?2n??
是首项为2，公差为4的等差数列．
∴an133n－1
2n＝2＋(n－1)·4＝4
， 故an＝(3n－1)·2
n－2
.
8
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