(R =1.0973107 m1，h =6.6331034 J2s，1 eV =1.6031019 J ， c =33108 m2s1 )
----
13.6 3.4
21-7试根据玻尔关于氢原子结构的基本假说，推导里德伯常量的理论表达式．
1mee4(氢原子能级公式： En??2?22)
n8?0h~??/c?(1/hc)?(E?E) 证明：?kn?(1/h)?(En?Ek) , ?knknnk222222而： En??mee4/(8?0hn)， Ek??mee4/(8?0hk) ，
mee411~代入上式： ?kn?(?) 238?0hck2n2~?R(1?1) 比较，得里德伯常量 R?me4/(8?2h3c)． 与 ?kne0k2n221-8 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光． (B) 两种波长的光．
(C) 三种波长的光． (D) 连续光谱． [ C ] 21-9根据玻尔理论，氢原子在n =5轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为 (A) 5/4． (B) 5/3． (C) 5/2． (D) 5． [ C ] 21-10 光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程．对此，在以下几种理解中，正确的
(A) 两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律． (B) 两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程．
(C) 两种效应都属于电子吸收光子的过程．
(D) 光电效应是吸收光子的过程，康普顿效应相当于光子和电子的弹性碰撞过程． [ D ] 21-11 某一种波长的X光经物质散射后，其散射光中包含波长 ? 和波长不变的两种成分，其中波长 ? 的散射成分称为康普顿散射．
变长 变长
21-12
在康普顿散射中，若入射光子与散射光子的波长分别为?和?′，则散射光子的动
量为 ? ；反冲电子获得的动能EK = ? ．
????h hc
????? 41
第二十二章 量子力学
【例题精选】
例22-1 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的
(A) 动量相同． (B) 能量相同． (C) 速度相同． (D) 动能相同． [ A ] 例22-2 光子波长为?，则其动量的大小 = ? ；质量= ? ．
h/? h/(c?)
例22-3 氢原子的运动速率等于它在300 K时的方均根速率时，它的德布罗意波长是
? ．质量为M =1 g，以速度v?1 cm2s1运动的小球的德布罗意波长是 ? ．
-
(玻尔兹曼常量k =1.3831023 J2K1，氢原子质量mH =1.6731027 kg)
---
1.45 ?
6.6331019 ?
-
例22-4 质量为me的电子被电势差U12 = 100 kV的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长．若不用相对论计算，则相对误差是多少？
(me=9.1131031 kg，h=6.6331034 J2s，e=1.6031019 C)
---
解：(1)考虑相对论效应：eU12=mec(??1)，∴?=1+
c2eU12mec2?e2U122mec2?eU122
eU12mec2=
mec2?eU12mec2 ，
∴v=，∴?=
hhch。 ??222mv?mev2eU12mec?eU12U12 = 100 kV=105V，则eU12+mec2=9.8?10?14，
2eU12mec2?e2U122=5.367?10?14，v=1.643?108m ? s，得相对论波长?=3.706?10?12m。
(2)不考虑相对论效应：eU12=mev2 ? 2，∴v=
2eU12h?，∴??=
mevmeh2meeU12。
2meeU12=1.71?10?22，??=h ? 相对误差是
??????2meeU12=3.877?10?12m。
3.877?3.706= 4.6?。
3.706例22-5 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U的静电场加速后，其德布罗意波
长是0.4 ?，则U约为 (普朗克常量h =6.6331034 J2s)
-
(A) 150 V (B) 330 V (C) 630 V (D) 940 V [ D ]
42
??例22-6 设描述微观粒子运动的波函数为?(r,t)，则粒子波函数?(r,t)必须满足的标
?准条件是 ? ；波函数?(r,t)的归一化条件是 ? 。
单值、有限、连续
????dxdydz?1
2例22-7 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试证明此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系为：?x≥?．(不确定关系式?px?x?h) 证明：由?px?x≥h即 ?x≥
h ① ?pxh据题意?px?mv 以及德布罗意波公式??h/mv得 ?? ②
?px比较①、②式得 ?x≥?
例22-8 不确定关系式?x??px??表示在x方向上
(A) 粒子位置不能准确确定． (B) 粒子动量不能准确确定． (C) 粒子位置和动量都不能准确确定． (D) 粒子位置和动量不能同时准确确定． [D] 例22-9 波长? =5000 ?的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量?? =103 ?，则利用
-
不确定关系式?px?x?h可得光子的x坐标的不确定量至少为
(A) 25 cm． (B) 50 cm． (C) 250 cm． (D) 500 cm． [ C ]
(A) 例22-10 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子
(B) x x x x 动量的精确度最高的波函数是哪个图？ (C) [ A ]
(D) 例22-11 下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ (A) n=2，l=2，ml =0，ms? (C) n=1，l=2，ml =1，ms?11． (B) n=3，l=1，ml =-1，ms??． 2211． (D) n=1，l=0，ml = 1，ms??． [B] 22例22-12 多电子原子中，电子的排列遵循 ? 原理和 ? 原理．
泡利不相容 能量最小
例22-13 氢原子中处于3d量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，ml，ms)可能取的值为
43
(A) (3，0，1，?11)． (B) (1，1，1，?)． 2211(C) (3，2，0，)． (D) (2，1，2，)． [ C ]
2211 ?
22例22-14电子的自旋磁量子数ms只能取 ? 和 ? 两个值．
【练习题】
22-1 质量为me的电子被电势差U12的电场加速，如果考虑相对论效应，其德布罗意波的波长是多少？
(电子静止质量me，普朗克常量h，基本电荷e)
2答：用相对论计算 由 p?mv?m0v/1?(v/c) ①
222 eU12?[m0c/1?(v/c)]?m0c ②
??h/p ③
计算得
??hceU12(eU12?2m0c)2
22-2在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度d必须等于德布罗意波半波长的整数倍．试利用这一条件导出能量量子化公式：En?n2h2/(8md2)， n =1，2，3，??
[提示：非相对论的动能和动量的关系EK?p/(2m)]
证明：依题意：n?/2?d 则有 ??2d/n
由于 p?h/? 则 p?nh/(2d) 故 E?p/(2m)?nh/(8md) 即 En?n2h2/(8md2)，n =1，2，3，??
22-3 ?粒子在磁感应强度为B = 0.025 T的均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm的圆形轨道运
动． (1) 试计算其德布罗意波长．(2) 若使质量m = 0.1 g的小球以与?粒子相同的速率运动．则其波长为多少？
(??粒子的质量m? =6.6431027 kg， h =6.6331034 J2s， e =1.6031019 C)
---
22222解：(1) 德布罗意公式：??h/(mv) 由题可知? 粒子受磁场力作用作圆周运动
44
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