∴=（0，3，﹣），=（﹣，﹣1，），，
=（，2，0）．
设平面PBC的法向量=（x，y，z），则
∴∴cos＜，
＞=
，取x=
=
，得=（，﹣1，
．
），
=﹣
∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．
20．（15分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）若对任意正实数a，b（a≠b），不等式值范围．
【解答】解：（I）当m=e时，f′（x）=﹣
=
，（x＞0）．
≤2恒成立，求m的取
可得：函数f（x）在（0，e）上单调递减；在（e，+∞）上单调递增， ∴当x=e时，函数f（x）取得极小值，f（e）=2． （II）对任意正实数a，b（a≠b），不等式
≤2恒成立，
不妨设a＞b，可得：f（a）﹣f（b）≤2a﹣2b，即f（a）﹣2a≤f（b）﹣2b， 构造函数g（x）=f（x）﹣2x，可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递减． g′（x）=
﹣2≤0在（0，+∞）上恒成立，
化为：m≥（﹣2x2+x）max=．
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∴m的取值范围是
．
21．（15分）如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y=x2+1上，点P是抛物线C1上的动点．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点P作抛物线C2的两条切线，A、B分别为两个切点，求△PAB面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=2py的焦点（0，）在抛物线C2：y=x2+1上， 即有=1，可得p=2， 即有C1的方程为x2=4y， 其准线方程为y=﹣1．
（Ⅱ）设P（2t，t2），A（x1，y1），B（x2，y2）， y1=x12+1，y2=x22+1，
y=x2+1的导数为y′=2x，直线PA的斜率为2x1，直线PB的斜率为2x2， 则切线PA的方程：y﹣y1=2x1（x﹣x1）， 即
，又
，所以y=2x1x+2﹣y1，
同理切线PB的方程为y=2x2x+2﹣y2， 又PA和PB都过P点，所以
所以直线AB的方程为4tx﹣y+2﹣t2=0． 联立
得x2﹣4tx+t2﹣1=0，
，
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所以所以
，|x1﹣x2|=
=．
．
，
点P到直线AB的距离
所以△PAB的面积，
所以当t=0时，S取最小值为2．即△PAB面积的最小值为2．
22．（15分）已知无穷数列{an}的首项a1=，（Ⅰ）证明：0＜an＜1； （Ⅱ） 记bn=Tn
．
，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：对任意正整数n，
=
n∈N*．
【解答】（Ⅰ）证明：①当n=1时显然成立；
②假设当n=k（k∈N*）时不等式成立，即0＜ak＜1， 那么：当n=k+1时，∴0＜ak+1＜1，
即n=k+1时不等式也成立．
综合①②可知，0＜an＜1对任意n∈N*成立．﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）
，即an+1＞an，
＞
，
∴数列{an}为递增数列． 又∴
=
也为递减数列，
=
=
，易知为递减数列，
∴当n≥2时，
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∴当n≥2时，当n=1时，当
n
≥
2
=，成立；
时
，
=
Tn=b1+b2+…+bn
＜
综上，对任意正整数n，
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