如在例1.3中，设A??3,4,5,6?，B??1,3,5?，则AB??3,5?. 显然，AB??就意味着A与B是互不相容事件.
事件的并与交运算可推广到有限个或可列个事件，譬如有事件A1,A2,， 则?Ai称为有限并，
i?1n??i?1Ai称为可列并；
?A称为有限交，
ii?1n??i?1Ai称为可列交.
A?B AB A?B
3. 事件A对B的差
“由事件A中而不在B中的样本点组成的新事件”称为事件A对B的差，记为A?B. 用概率论的语言说：“事件A发生而B不发生”.
如在例1.3中，设A??3,4,5,6?，B??1,3,5?，则A?B??4,6?. 若X为随机变量，则
?a?X?b???X?b???X?a?
4. 对立事件
“由在?中而不在A中的样本点组成的新事件”称为事件A的对立事件，记为A. 用概率论的语言说：“A不发生”，即A＝??A.
如在例1.3中，设A??2,4,6?，则A??1,3,5?. 事件的关系与运算也可用文氏图表示。
不难发现，事件的关系与运算和集合的关系与运算之间是完全可以互相类比的。表1.1给出了这种类比的对应关系.
表1.1 事件的关系与运算和集合的关系与运算之间的对应关系 记号 概率论 集合论 5
? 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A发生而B不发生 A不发生 空间（全集） 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集 ? ? A?B AB?? AB AB A?B A 在许多场合中，用集合论的表达方式显得简单些，也更容易理解些. 但对初学者来说，重要的是要学会用概率论的语言来解释事件的关系与运算，并能运用它们.
例1.6 设A,B,C是三个事件，则
(1) 事件“A与B发生，C不发生”：ABC； (2) 事件“A,B,C中至少有一个发生”：A(3) 事件“A,B,C中恰有一个发生”：ABC(4) 事件“A,B,C中至多有一个发生”：ABC(5) 事件“A,B,C同时发生”：ABC； (6) 事件“A,B,C都不发生”：ABC； (7) 事件“A,B,C不全发生”：A2、事件运算的性质
定理1.1 事件的运算满足下列性质： 交换律：AB?BA,AB?BA；
BC；
ABCABC；
ABCABCABC；
BC.
结合律：?AB?C?A分配律：?AB?C?AC对偶律(德莫根公式)：A?BBC,C??ABC,?AB?C?A?BC??ABC；
A.
?AB?C??AC??BC?；
B?BB?BA；A德莫根公式是很有用的公式，它可以推广到任意有限个事件，即
nnnnAi?i?1i?1Ai；
i?1Ai?i?1Ai.
下面的关系式是显而易见的，也是有用的：
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??AB?A?ABB??；
AA??,AA??；
A?A,???,???
A???,A??A；
A??A,A?B?AA???；
B?B；
B?A,AA?B?A?AB?AB；
AB?A(B?A)?B(A?B)；
A?AB习题1.1：7P10 七、 事件域
AB.
现在我们给出“事件域”的概念，是为了下一节定义事件的概率作准备. 所谓“事件域”从直观上讲就是一个由样本空间的某些子集组成的集合类，记为F. 问题是F中应该有那些元素？首先F中应该包含?和?；其次应该保证事件经过并、交、差、对立等运算后仍然是事件，即要求F对事件的运算具有封闭性. 由于
? 交的运算可通过并与对立来实现(德莫根公式)； ? 差的运算可通过交与对立来实现(A?B?AB).
这样一来，F只要对并与对立运算封闭就能保证其对并、交、差、对立运算封闭，因此可给出事件域的定义如下：
定义1.1 设F是样本空间?中的某些子集构成的集合，若F满足: (1) ??F；
(2) 若A?F，则A?F； (3) 若Ai?F，i?1,2,?，则 则称F为事件域(?-代数).
在概率论中，又称??,F?为可测空间，这里“可测”是指F中都是有概率可言的事件.
例1. 7 常见的事件域
?A?F，
ii?1?7
(1) 若样本空间?为有限个或可列个样本点组成，则常取?的一切子集所组成的集合类作为F，易见F是事件域；
例如??{W1,W2}?F?{?,A,A,?},其中A?{W1}.
??{W1,01,Wn}?F中含有Cn?Cn?n?Cn?2n个事件.
(2) 若样本空间???(??,??)，此时事件域F可由一个基本集合类
L??(??,x):???x????
逐步扩展生成(见P.9.教材). 习题1.1：11P1011
作业：习题1.1：1(1)(4)(5)，2，3，6.
§1.2 概率的定义及其确定方法
一、概率的公理化定义
简单而直观的说：概率就是事件发生可能性大小的度量. 对此我们先看以下一些经验事实：
1. 事件的发生是带有偶然性的，但事件发生的可能性是有大小之分的. 例如，口袋中有10只相同的球，其中9只黑球，1只白球，从中任取1球，人们的共识是：取出黑球的可能性比取出白球的可能性大；
2. 事件发生的可能性大小是事件本身固有的东西，就像棍子有长度，土地有面积一样。而且事件发生的可能性大小是可以设法度量的. 例如，抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性各位0.5；抽取一件产品可能为正品，也可能为次品，但产品质量的好坏可以用次品率来度量；购买彩票后可能中奖，也可能不中奖但中奖的可能性大小可以用中奖率来度量.
在概率论发展史上，曾有过概率的频率定义、古典定义和几何定义. 这些定义各适合一类随机现象，有各自的优缺点. 如何给出适合一切随机现象的概率的一般定义呢？1933年俄罗斯（苏联）数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括上述几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条公理，才能说它是
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