第2讲 整式与因式分解
【考点归纳】 1.单项式
（1）单项式：只有数与字母的积的运算代数式叫做单项式，其中包括单独一个数或一个字母。
注意：单独一个数或一个字母也是单项式，单项式是一个积。 （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 注意：单项式前面的负号属于系数。
（3）单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和。 2.多项式
（1）多项式：由几个单项式的和组成的代数式。 （2）多项式的项：组成多项式的每个单项式。
注意：不含字母的项是常数项；每个单项式都带着符号。 （3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。 3.整式
（1）整式：单项式和多项式统称整式 注意：分母含字母的一定不是整式。 4.同类项
（1）同类项：所含字母相同，相同字母的指数相等的项是同类项。 （2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 5.整式的计算 （1）去括号
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数量是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 （2）求值
①代入求值：一般都是先把多项式中的同类项进行合并以后，再把给出字母的数值代入，从而求出代数式的值；
②列整式计算：这类型的题目主要是根据实际问题列出整式，然后再把相关的数据代入整式中，从而求出实际问题的答案；
③找规律：一般都是先给出几个特殊图形或者数据，从中找出规律，从而把第n个数据用代数式表示出来（这是现在中考的热点内容）。 6.幂的运算性质
同底数幂相乘：a·a=a 同底数幂相除：a÷a=a 幂的乘方：（a）=a 积的乘方：（ab）=ab
n
nn
m
n
mnm
n
m-n
m
n
m+n
注意：其是的m、n均为整数。
注意：其是的a≠0、p为正整数。 7.乘法公式
平方差公式：(a+b)（a-b)= a-b 完全平方式：(a+b)= a+2ab+b
(a-b)= a-2ab+b
2
2
2
2
2
22
2
零指数和负指数：规定a=1,a= 1p
0
-p
a注意：平方差公式中，两个一次因式的特点：a的符号相同，b的符号相反。
在完全平方公式中，2ab前的符号与(a+b)或（a-b)的是一致的。
8.整式的乘除
（1）单项式乘以单项式
用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指
数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式乘以多项式
是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）多项式乘以多项式
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（4）单项式除单项式
把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同
它的指数作为商的一个因式。 （5）多项式除以单项式
把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
9.因式分解
（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式。 （2）因式分解的方法：
①提取公因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=m(a+b+c)；
②运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
常见的公式：
平方差公式：a-b=(a+b)（a-b) 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b)；
2
2
2
2
2
③简单的“十字相乘法”：
整式的乘法：(x+p)（x+q)=x+(p+q)x+pq； 因式分解： x+(p+q)x+pq=(x+p)（x+q)；
2
2
④分组分解法：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去，分组后可以提公因式、或运用公式法或用十字相乘法继续分解因式。 （3）分解因式的步骤：
①首先看是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式；
②然后再考虑是否能用公式法分解，如果是一个二次三项式，可以考虑是否能用十字相乘法； ③如果是四项或者四项以上的多项式，就要考虑分组分解法； ④分解因式一定要把结果分解到不能再分为止。 【考点解析】
1. 代数式及相关问题
【例题】. （2016·重庆市A卷·4分）若a=2，b=﹣1，则a+2b+3的值为（ ） A．﹣1
B．3
C．6
D．5
【分析】把a与b代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：当a=2，b=﹣1时，原式=2﹣2+3=3， 故选B
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式】
(2015·湖州市 )当x=1时，代数式4?3x的值是( ) A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【分析】把x的值代入代数式进行计算即可得解.
【解析】把x=1代入代数式4?3x即可得原式=4-3=1.故选A. 【点评】代入正确计算即可. 2. 幂的运算
【例题】（2016海南3分）下列计算中，正确的是（ ） A．（a）=aB．a?a=aC．a+a=aD．a÷a=a
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、（a）=a
3
5
3+5
8
3
4
3×4
3
4
12
3
5
15
2
2
4
6
2
3
=a，故A正确；
12
B、a?a=a=a，故B错误； C、a+a=2a，故C错误； D、a÷a=a故选：A．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
【变式】（2016·重庆市B卷·4分）计算（xy）的结果是（ ） A．x6y3 B．x5y3 C．x5y D．x2y3 【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解． 【解答】（x2y）3=（x2）3y3=x6y3， 故选A．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 整式的概念
【例题】（2016·山东潍坊·3分）若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n= ． 【考点】同类项．
【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．
2
3
6
2
6﹣2
2
2
2
=a，故D错误；
4
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