解：令v?x?2y， 则dvdx?1?2dydx?1?2v?12v?1， 即
dv4vdx??12v?1，此方程为变量分离方程， 分离变量并积分得：132v?8ln4v?1?x?c，
还原变量并化简得：8y?4x?3ln4x?8y?1?c． （４）y??x3y3?xy．
解：①当y?0时，方程两边同时乘以?2y?3 ,
则?2y?3y???2x3?2xy?2， 令z?y?2， 则
dz?2xz?2x3dx, 此方程为一阶线性方程，由公式得：z?cex2?x2?1还原变量得：y2?(cex2?x2?1)?1. ②y?0也是方程的解．
2. 利用适当的变换，求解下列方程： （１）y??cos(x?y)；
解：令u?x?y，则
dudx?1?dydx?1?cosu， ①当cosu?1时，有du1?cosu?dx， 即 du?2sin2udx，
2 两边积分得：1u2ctg2?x?c
还原变量化简得：cosx?yx?yx?2?2xsin2?csiny2． ②当cosu?1时，即y?x?2k?(k?Z)也是方程的解． (3uv?v2)du?(u2?uv)dv?0；
解：方程两边同时乘以u则原方程化为：
(3u2v?uv2)du?(u3?u2v)dv?0，
即 (3u2vdu?u3dv)?(uv2du?u2vdv)?0 此方程为全微分方程，则原方程的解为：u3v?1222uv?c． (x2?y2?3)dyx2dx?2x(2y?y)；
解：原方程即为2ydy4y2?2x22xdx?x2?y2?3 ，令x2?v,y2?u，
（２）
（３） 则
du4u??4u?2v?0?u??1dv?2vu?v?3,由? 得?u?v?3?0?v??2， 令???m?u?1，则有dm?n?v?2dn?4m?2nm?n 令mn?z，则m?zn，dmdz4zdn?dnn?z??2z?1， 则有dzdnn?(1?z)(z?2)z?1，此方程为变量分离方程， 分离变量并积分得：ln(z?1)22?z3?c?lnn，
还原变量并化简得：(x2?y2?1)2?c(?2x2?y2?3)3.
dy2x3?3xy2?7xdx?3x2y?2y3?8y． 2ydy2x2解：原方程即为?3y2?7222xdx?3x2?2y2?8，令u?y,v?x, 则
du2v?3?dv?u?73v?，由?2v?3u?7?0?u?12u?83v?2u?8?0??， 令?v?2??m?u?1v?2， ?n?则
dmdn?2n?3mm3n?2m，令n?z，可将方程化为变量分离形方程，
(3?2z2?2z2)dz?dnn，两边积分得：
34ln1?z1?z?12ln1?z2?lnn?c， 还原变量并化简得：(x2?y2?1)5?c(x2?y2?3)．
3. 求解下列微分方程：
（１）．y???y2?14x2； 解：令z?xy， 则原方程可化为：
dzdx?1x(?z2?z?14)， ①当z?12时，即xy?12时 方程为?1dx(z?1dz? ，此方程为变量分离方程， 2)2x两边积分得：1?lnx?c
z?12 （４） 还原变量并化简得：y?112x?xlnx?cx； ②当z?12时，y?12x是方程的特解． （２）．x2y??x2y2?xy?1； 解：原方程即为：y??y2?yx?1x2， 令z?xy，则
dz?1(z?1)2dxx，此方程为变量分离方程， 分离变量积分得：?1z?1?lnx?c， 还原变量并化简得：y??11x?xlnx?cx． 4. 试把二阶微分方程y???p(x)y??q(x)y?0化为一个黎卡提方程． 解：令y?e?udx， 则y??ue?udx，y???u2e?udx?u?e?udx，
代入原方程可得：
y???p(x)y??q(x)y?u2e?udx?u?e?udx＋
p(x)ue?udx?q(x)e?udx＝０，
即有：u2?u??p(x)u?q(x)?0，
此方程为一个黎卡提方程．
5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于
45?．
解：设此曲线为y?y(x)，由题意得：
dydx?yx?tg45??1，化简得：dy?x?y1?dyydxx?y， dxx此方程为齐次方程，解之得：arctgyx?12ln(x2?y2)?c．
6. 探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束
反射成平行线束？
解：取点光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系．
设所求曲面由曲线??y?f(x)?z?0绕x轴旋转而成,则求反射镜面问题归
结为
求 xy 平面上的曲线y=f(x)的问题．
由题意及光的反射定律，可得到函数y?f(x)所应满足的微分方程式：
dyydx?x?x2?y2，此方程为齐次方程， 解之得：y2?c(c?2x)，（其中c为任意正常数）．
y2?c(c?2x)就是所求的平面曲线，它是抛物线，
因此反射镜面的形状为旋转抛物面y2?z2?c(c?2x)．
习 题 ２-5
１．求解下列微分方程：
（１）．(3x2y?2xy?y3)dx?(x2?y2)dy?0；
解：方程两边同乘3e3x， 则
(9e3xx2ydx?6e3xxydx?3e3xx2dy)?(3e3xy3dx?3e3xy2)dy?0， 此方程为全微分方程，即 3e3xx2y?e3xy3?c． （２）．ydx?(2xy?e?2y)dy?0；
解：方程两边同乘1ye2y， 则 e2ydx?(2xe2y?1y)dy?0 即(e2ydx?2xe2ydy)?1ydy?0 此方程为全微分方程，即有 xe2y?lny?c ．
（３）．(3x?6x23yy)dx?(y?x)dy?0；
解：方程两边同乘 xy， 则
(3x2y?6x)dx?(x3?3y2)dy?0 即 (3x2ydx?x3dy)?(6xdx?3y2dy)?0 此方程为全微分方程，即有x3y?y3?3x2?c ．
（４）．ydx?(x2?y2?x)dy?0; 解：方程两边同乘
1x2?y2， 则
ydx?xdyx2?y2?dy?0， 此方程为全微分方程，即 arctgxy?y?c （5）．2xy3dx?(x2y2?1)dy?0；
解：方程两边同乘
1y2， 则
2xydx?(x2?1y2)dy?0，
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