第三节 简单线性规划
[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成 不包括边界直线 包括边界直线 Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0 的平面区域 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.线性规划中的相关概念 名称 约束条件 意义 由变量x，y组成的不等式(组) 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 可行域 最优解 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
(4)不等式x－y<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
2
2
1
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)不等式组?
??x－3y＋6<0，??x－y＋2≥0
表示的平面区域是( )
C [x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]
x－y＋1≥0，??
3．(2016·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件?x－2y≤0，
??x＋2y－2≤0，
为________．
3
[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分． 2
则z＝x＋y的最大值
??x－2y＝0，由?
?x＋2y－2＝0?
?1?得A?1，?.
?2?
13?1?当直线z＝x＋y过点A?1，?时，zmax＝1＋＝.] 22?2?
4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________.
【导学号：66482287】
|4m－3－1|
6 [由题意得＝4及2m＋1≥3，
5解得m＝6.]
x≥1，??
5．在平面直角坐标系中，不等式组?x＋y≤0，
??x－y－4≤0
__________.
表示的平面区域的面积是
【导学号：66482288】
1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，
2
由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)， 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)， 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)， 1
∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]
2
二元一次不等式(组)表示的平面区域 x＋y－3≥0，??
(1)(2016·浙江高考)若平面区域?2x－y－3≤0，
??x－2y＋3≥0
行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.
35
532
2
B．2
夹在两条斜率为1的平
C.D．5
x－y＋5≥0，??
(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组?y≥a，
??0≤x≤2
形，则a的取值范围是( )
A．a<5 C．5≤a<7
B．a≥7
表示的平面区域是一个三角
D．a<5或a≥7
(1)B (2)C [(1) 根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过
A点和B??x＋y－3＝0，
点时满足条件，联立方程组?
??x－2y＋3＝0
求得A(1,2)，联立方程组
??2x－y－3＝0，
?
?x＋y－3＝0?
求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y 3
|1＋1|
＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝2，故选B.
2
(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．
x＋y－2≥0，??
[变式训练1] 不等式组?x＋2y－4≤0，
??x＋3y－2≥0
表示的平面区域的面积为_____．
4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
??x＋3y－2＝0，
由?
?x＋2y－4＝0?
??x＝8，
得?
?y＝－2，?
∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．
直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)． 11
因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.]
22
4
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