总习题一 一、问答题
1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.
解 在平面解析几何中，已知两向量??(a1,a2),??(b1,b2)， 如图，以?,?为邻边的平行四边形的面积为
? S平行四边形?|?||?|sin??,??，而cos??,?????? ，
|?||?|（图1）
?
故
S平行四边形?||?||?|1-sin??,??| ?|a1b2?a2b1|?|a1b1a2b22a1b1a2b2|
这就是说，二阶行列式
表示平面上以??(a1,a2),??(b1,b2)为邻边的平
行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量?沿逆时针方向转到向量?而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量?沿顺时针方向转到向量
?而得到时面积取负值．
空间三向量??(a1,a2,a3),??(b1,b2,b3),??(c1,c2,c3)的混合积??(???)的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即
a1a2b2c2a3b3| c3V平行六面体?|??(???)|?|b1c1a1a2b2c2a3三阶行列式b1c1b3表示以?，?，?为相邻棱的平行六面体的有向体积，当c3?，?，?构成右手系时，体积取正值；当?，?，?构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．
类比二、三阶行列式，n阶行列式Dn?|?1,?2,?,?n|是由n维向量?1,?2,?,?n张成的n维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势． 2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？
- 2 - 习 题 解 答
解 由定义知，在行列式D?aijn?n中，去掉元素aij所在的第i行和第j列后，保持
相对位置不变得到的n?1阶行列式称为该元素的余子式，记为Mij．而把(?1)i?jMij称为元素aij的代数余子式，记为Aij．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余
123123子式．例如：在行列式D1=45?1中，将第二行元素都换成1，得D2?111，
789789那么D2的第二行各元素的代数余子式与D1的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组
合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即
n?D,(i?s)?D,(j?t)， ?akjAkt??． aikAsk???0,(i?s)0,(j?t)k?1k?1??n3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.
解 线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义．设三元一次线性方程组
?a1x?b1y?c1z?d1?(?1)??a2x?b2y?c2z?d2?(?2), ?ax?by?cz?d?(?)3333?3三个方程在空间分别表示三个平面?1,?2,?3，该方程组
有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样
以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利
地迁移到对n元线性方程组的解地理解上去。如果我们利用几何直观来理解线性代数课程，就能为抽象思维提供形象模型，提高应用线性代数理论去解决实际问题的能力．
4. 范德蒙（Van der monde）行列式的结构特点及结论是什么？请运用范德蒙行列式
112x23x212x3?(x1x2?x2x3?x3x1)?(xj?xi).
1?i?j?33x3证明：D?x12x13解 范德蒙行列式
1x1Vn?x12?x1n?11x22x21x32x3????1xn2xn ??n?1x2?n?1n?1x3?xn 线 性 代 数 - 3 -
它的结构特点是：每一列都构成等比数列，首项是1，公比分别是x1,x2,?,xn，末项分别是x1,x2,?,xn的n?1次幂．若将此行列式转置，则各行元素具有此特点.解题时若发现某行列式有此特点，则可以利用范德蒙行列式的结果写出答案．
根据待求行列式的特点，构造四阶范德蒙行列式：
1V4?x1x12x131x22x23x21x32x33x31yy2y3
一方面，利用范德蒙行列式结论有V4?(y?x1)(y?x2)(y?x3)1?i?j?3?(xj?xi)，另
一方面，按第四列展开有V4?A14?A24y?A34y2??A44y3，比较y的系数得结论成立．
二、单项选择题
00?0100?101．n级行列式??????（ ）．
0110??0000n(n?1)2（A）?1 （B）(?1) （C）(?1)n(n?1)2n(n?1)2 （D）1
解 应选（B），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式的定义，该行列式只有一项不为零，(?1)?(n(n?1)?21)1??1????1=(?1)???n．
212．设f?x???1?1x13234，那么f?x?的一次项系数为（ ）．
0?2?37?2?2（A） 1 （B） 2 （C） -1 （D） -2
解 应选（C），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式展开定理，f?x?的一次项
1341341341+2?1?2?3??011??011??1，系数为代数余子式A12?(?1)故选（C）． ?1?2?2012001a11a12a132a112a123a32?a222a133．如果行列式a21a22a31a32a23?d,那么3a31a33?a21． 3a33?（ ）
?a23- 4 - 习 题 解 答
（A） 2d （B）3d （C）6d （D）-6d 解 应选（C），本题直接计算．利用行列式的性质
2a113a31?a212a123a32?a222a13a11a12a32a22a133a33??6a31?a23a21a33?6d，故选（C）．
a23r2?r24．如果n(n?2)级行列式中每个元素都是1或-1,那么该行列式的值为( )． （A）偶数 （B）奇数 （C）1 （D）-1 解 应选（A）．因为行列式中每个元素都是1或-1,将行列式的第二行元素的一倍加到第一行，行列式的值不变，此时行列式第一行元素只可能是2,?2或0,即2是第一行元素的公因数，也是行列式的一个因数，从而行列式的值一定是偶数．
说明：读者可以考虑所有满足该题条件的三阶行列式的最大取值是多少？它是一个很有趣的问题．
10?002?05．行列式的主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和为
????00?n( ) ．
n(1?n)n2(1?n)（A）n! （B） （C） n?n! （D）
22解 应选（C），本题思路是根据行列式的特点，将“主对角线上每个元素与其代数
余子式乘积之和”转化为“每行元素与其代数余子式乘积之和”，再利用行列式展开定理解题．由于行列式每行只有一个元素不为零，故
1?A11?1?A11?0?A12???0?A1n?D?n!2?A22?0?A21?2?A22???0?A2n?D?n!??n?Ann?0?An1?0?An2???n?Ann?D?n!从而1?A11?2?A22???n?Ann?n?n!．
a100b1
6．四阶行列式
00a2b20b3a30的值等于（ ）．
b400a4 (A) a1a2a3a4?b1b2b3b4 (B) a1a2a3a4?b1b2b3b4
(C) (a1a2?bb12)(a3a4?b3b4) (D) (a2a3?b2b3)(a1a4?bb14) 解 应选 (D)，本题可以直接计算，采用直选法．计算过程可以用行列式的定义，
行列式按行展开定理，也可以用拉普拉斯定理解答．使用拉普拉斯定理更快捷．本
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