为了熟练运用相因子分析法，我们应当熟悉两类典型相因子函数——一反映波场的波前相因子和反映元件作用的变换相因子． (1)波前相因子
①平面波． 平面波之波前函数具有线性相因子，
其线性系数(sin?1,sin?2)与平面波传播方向一一对应，(?1,?2)是波矢量k的两个方向余弦角的余角。
②球面波． 傍轴球面波之波前函数具有二次相因子和交叉线性相因子，
指数上“土”与球面波聚散性一一对应一一“十”对应发散球面波，“一”对应会聚球面波；交叉线性相因子系数(x0,y0)决定聚散中心的横坐标，相因子中分母z决定了聚散中心Q与观测平面(x,y)的纵向距离，即聚散中心Q的位置坐标为
(2)变换相因子
透镜． 薄透镜之变换函数具有二次相因子
其中F值等于透镜焦距．F＞0对应会聚透镜，F＜0对应发散透镜．值得指出的是，在某种
~~波前变换的场合，如果出现了形同tL有二次相因子的变换函数，作用在波前U(x,y)上，则
其实际效果相当于U(x,y)波经历一个透镜的聚散，不管那场合是否具有实物透镜存在．简言之，变换函数中的二次相因子是一等效透镜．
下面，运用相因子分析法，再解决波前光学中一个重要实例． ◆余弦型环状波带片的衍射场
余弦型环状波带片的屏函数其标准形式为
它具有轴对称性．可以设计让一傍轴球面波与一平面波作相干叠加、再对曝光底片H作线 性冲洗、而获得这样一张余弦型环状波带片，如图所示．
~
当用一束平面波照射这张波带片时，其透射波前函数为
其中，
运用波前相因子分析法，可以对以上三种波成分的类型和持征作出明确的判断：波前U0代表一列正出射的平面衍射波，称其为0级衍射波；波前U?1代表一列正出射的发散球面波，发散中心在轴上Q?1点，与波带片P离为Z0，称其为十1级衍射波；波前U?1代表一列正出射的会聚球面波，会聚中心在轴上Q?1点，与波带片距离为Z0，称其为一1级衍射波，如同所示．
~~~
这表明余弦型环状波带片的衍射场其主要成分有一个，其中、0级平面衍射波是照明波的直接透射波，而土级发散或会聚球面衍射波的出现，说明这波带片同时起一个发散透镜和一个会聚透镜的作用，虽然这场合并无实物透镜，仅有一张薄薄的波带片．追溯其源，在于制备时那傍轴球面波提供的二次相因子
这使我们又一次见识到，先一步的波前相因子，可以转化为后一步衍射场合中的光学元件．这一点正是现代波前光学中，全息光学元件的基本设计思想．
当然，考虑到波带片孔径有限，上述这三种波前受到窗函数的限制，以致聚散中心并不 是一个理想的点．但是运用相因子分析法，毕竟使人们掌提了余弦型环状波带片其衍射场 的主要持征．
鉴广余弦型环状波带片的衍射具有上述简单而鲜明的特征，以致以r2为宗量的屏函数
~简谐成分(*****)式，可以作为一切轴对称屏函数t(r)的基圆成分．
5.4 余弦光栅的衍射场
◆余弦光栅的屏函数和制备
余弦光栅的透过率函数即其屏函数的典型表示式为
这是一个特殊走向的余弦光栅，仅沿x轴方向呈现周期性，空间周期为d,d?1f，f为空间频率(mm)，如图(a)所示．任意取向的余弦光栅，如图 (b)所示，
-1
其屏函数的一般表达式为
它表明，该光栅沿两个正交方向(x,y)的空间频率为(fx,fy)，相应的空间周期为(dx,dy)＝1fx,1fy。不难由(fx,fy)导出直观上余弦光栅的若干几何特征：
值得注意的是，二维平面上的空间频率(fx,fy)含有正负号．比如图***(b)显示的这张光栅．fx,fy异号，tan??0。表明与栅条正交的方向N沿二、四象限；若fx,fy同号，则
tan??0，这对应的是与栅条正交的方向N沿一、三象限．以上关于tan?公式可以由等
值点方程2? fxx?2? fyy?C (常数)导出
可以看到，余弦光栅屏函数形式与双光束干涉场的光强分布函数相似。实际上，制备一块余弦光栅首先用一张乳胶干版H记录两束平行光的干涉场，如图所示，其干涉强度分布函数为
然后，将这张曝光的干版在暗室中作化学处理即显影定影，要求满足线性条件，以获得冲洗后干版底片的透过率函数，
写成
其中，??0，表示负片，表示正片；参数?俗称“雾底”，它表示即使曝光强度I?0??0，处，冲洗出来的底片在该处仍有一定程度的透过率．制成的这张光栅是否具有以上余弦型函数标准形式，这可通过“光密度计”予以鉴测。光栅制作过程中的关键环节是“线性冲洗”这一步．它与拍摄时的曝光强度、冲洗时的药液配方、时间、温度，以及记录介质的乳胶特性等诸多因素有关，深究起来乃系感光材料与光化学专业的问题。
◆余弦光栅的衍射特征
如图所示，让一束波长为?的平行光照射这余弦光栅，而在透镜后焦面上接收衍射场．实验上显示出三个鲜明的衍射斑．我们知道，透镜后焦面上的一点，对应物空间的一个方向．目前，后焦面上三个衍射斑的出现，表明通过余弦光栅其后场存在三列平面衍射波．兹运用波前相因子分析法，对此作出理论说明如下．
平面波正入射，其入射波前为U1?A1，经余弦光栅后的透射波前为
即
其中
~
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