鉴于它们均具有线性因子，故可以判定它们各自均代表一列平面波。波前U0代表一列正出 射的平面衍射波，称其为0级波；波前U?1代表一列向上斜出射衍射波，称其为+1级波，其倾角??1，满足sin??1?f?。波前U?1代表一列向下斜出射衍射波，称其为-1级波，其倾角??1，满足sin??1??f?。这三列平面衍射波交叠十后场而形成一个较为复杂的波场，可是经透镜分离它即凝聚于三个鲜明的衍射斑。这三个衍射斑集中了余弦光栅这一物结构的所有持征．其中，最至要的一个联系是，土1级衍射波(斑)的角方位与余弦光栅的空间频率一一对应，
考虑到实际光栅的宽度D有限，这透射的三列平面衍射波的波前是受限的，故它们均 有一定的发散角，反映在后焦面那三个衍射斑均有一个半角宽度，分别为
~~~
如果余弦光栅取向任意，以空间频率(fx,fy)标定之，其产生的那一对斜出射的土1级平面衍射波的角方位（sin?1,sin?2），与(fx,fy)的对应关系为
最后说明一点，余弦光栅屏函数中的那个原(点)相位?0，其数值是要反映到?1级衍射级中的。余弦光栅的平移，将导致衍射班的相移，即?0有不同的取值．不过，这一点目前并不重要，以后在研究空间滤波和光信息处理时，将要注意到?0值的影响．
◆余弦光栅的组合
利用上面的对应关系表，可以十分简捷地分析出，由几个不同频率或不同取向的余弦信 息的组合所产生的衍射场．
(1)平行密接． 如图所示，两张余弦光栅G1和G2，其栅纹平行地叠在一起．
它们的屏函数分别为
则其组合光栅G1?G2的屏函数为
t12(x)?t01t02?t01t2cos2?f2x?t02t1cos2?f1x?t1t2cos2?f1xcos2?f2x ?t01t02?t01t2cos2?f2x?t02t1cos2?f1x?12t1t2cos2?(f1?f2)x?12t1t2cos2?(f1?f2)x由此可见，它含4个余弦光栅。再加1个直流成分．故其衍射场共含9列平面衍射波，在后焦面上将出现9个衍射班，分布于x?轴上，如图所示。其方向角分别为
定性上看．入射的平面波经光栅G1衍射，生成3列平面衍射波，其中每列波再经G2衍射又生成3列平面衍射波。这样一来，在G1?G2后场就交叠着9列平面波。
(2)正交密接． 如图所示，两张余弦光栅G1和G2叠在一起，其栅纹正交．G1和G2的屏函数分别为
则其组合光栅G1?G2的屏函数及屏函数个各项对应的衍射班为
这时共产生9个衍射班，其中4个斑在轴上，4个斑在轴外，还有1个斑在原点，它们方向角(sin?1,sin?2)的数值由(sin?1,sin?2)??(?fx,?fy)式确定。
(3)复合光栅． 一光栅其屏函数含两种频率成分，
这复合栅的衍射场含5列平面衍射波，显示于后焦面上是5个离散的衍射斑．基濒f1成分产生的那一对斑的方向角为??1，三倍频f2成分产生的那一对班的方向角为??2，它们由下式决定，
这类复合光栅，理论上来自周期屏函数的傅里叫级数展开，其中每个傅里叶成分便是一个余弦光栅；实验上可采取“二次曝光”程序以获得一张复合光栅，比如，在图6．11示意的装置中，先曝光一次，记录下某一频率的干涉条纹，然后变动反射镜倾角，再曝光一次，又在底片上记录下另一频率的干涉条纹．这种情形下，总曝光强度是两者之和，经线性冲洗后的透过率函数就包含了两种频率成分。运用这种实验方法可以获得两个相近的频率成分，即差额?f?f2?f1??f1,f2)．比如，f1为50／mm，f2为52／mm．这种显示出空间拍频的复合光栅，可用作空间滤波器．以实现图像微分运算．
5.5 傅里叶光学与傅里叶变换
◆傅里叶光学的基本思想
数学上可以将一个复杂的周期函数作傅里叶级数展开，这一点在光学中体现为，一个复杂的图像可以被分解为一系列单频信息的合成，简言之，一个复杂的图像可以被看作一系列不同频率、不同取向的余弦光栅之和．如果事情仅限于此，那图像的傅里叶分解只停留在纯数学的纸面上．为了将这种博里叶分解在物理上付诸实现，必须找到相应的物理途径——物理效应、物理元件或物理装置．
上一节余弦光栅的衍射待征已经表明，当单色光入射于二维图像上，通过夫琅禾费衍射，使一定空间频率的光学信息由一对待定方向的平面衍射波传输出来；这些衍射波在近场区域彼此交织，到了远场区域彼此分离，从而达到分频的目的．常见的远场分频装置是利用透镜，将不同方向的平面衍射波会聚于后焦面的不同位置上，形成—个个衍射斑；衍射斑位置与图像空间频率一一对应，且集中了这一频率成分所有光学信息．
总之，在一夫琅禾费衍射系统中，输入图像的博里叶频谱直观地显示在透镜的后焦面上．换言之，这后焦面就是输入图像的傅里叶频谱面，简称傅氏面，因而那些夫琅禾费衍射斑，也常被称作谱斑，如图所示。从这个意义上看，夫琅禾费衍射装置就是一个图像的空间频谱分析器．这就是现代光学对经典光学中夫琅禾费衍射的一个重新评价——夫琅禾费衍射实现了屏函数的傅里叶变换．这种新认识或新联系，给光学和数学这两方面都带来了新进展；它为夫琅禾费衍射场的分析，提供了一种强有力的傅里叶数学手段，同时开创了光学空间滤
波与光学信息处理这一新技术．
综上所述，振兴于20世纪60年代的傅里叶光学，其基本思想和基本内容，可以概括为两条：对图像产生的复杂波前的傅里叶分析，这意味着将其复杂的衍射场分解为一系列不同方向、不同振幅的平面衍射波，故傅里叶光学就是一种平面波衍射理论；再者，特定方向的平面衍射波，作为一种载波，携带着特定空间频率的光学信息，并将其集中于夫琅禾费衍射场的相应位置．实现了分频，从而为选颇即空间滤波开辟了可行的技术途径，故傅里叶光学也是一种关于空间滤波和光学信息处理技术的理论基础．
◆透镜的傅里叶变换特性
透镜是光学系统最基本的元件，正是由于透镜在一定条件下能实现傅里叶变换，才使得傅里叶分析方法在光学中得到如此广泛的应用．前面我们已经看到，单位振幅平面波垂直照明衍射屏的夫琅禾费衍射，恰好是衍射屏透过率函数t(x0,y0)的傅里叶变换(除一相位因子外)。
下面就衍射屏(物)放在透镜之前的情况进行讨论．
Ul(x,y)'
用单位振幅单色平面波垂直照明衍射屏，四个平面的复振幅关系为（四路） ①U0(x0,y0)?At(x0,y0)
②U0(x0,y0)通过菲涅尔衍射?Ul(x,y) ③Ul(x,y)通过透镜的二次相位变换?Ul?(x,y)
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