2016年全国高中数学联合竞赛试题（卷）与解答（B卷）

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2016年全国高中数学联赛（B卷）一试

一、选择题：（每小题8分，共64分）

1.等比数列?an?的各项均为正数，且a1a3?a2a6?2a32?36,则a2?a4的值为 ． 2.设A??a|?1?a?2?，则平面点集B???x,y?|x,y?A,x?y?0?的面积为 ．

3.已知复数z满足z2?2z?z?z（z表示z的共轭复数），则z的所有可能值的积为 ．

4.已知f?x?,g?x?均为定义在R上的函数，f?x?的图像关于直线x?1对称，g?x?的图像关于点?1,?2?中心对称，且f?x??g?x??9x?x3?1，则f?2?g?2?的值为 ． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．

6.在平面直角坐标系xOy中，圆C1:x2?y2?a?0关于直线l对称的圆为

C2:x2?y2?2x?2ay?3?0,则直线l的方程为 ．

7.已知正四棱锥V-ABCD的高等于AB长度的一半，M是侧棱VB的中点，N是侧棱VD上点，满足DN?2VN，则异面直线AM,BN所成角的余弦值为 ．

?n??n??n??n?8.设正整数n满足n?2016，且????????????3．这样的n的个数

?2??4??6??12?为 ．这里?x??x??x?，其中?x?表示不超过x的最大整数．

二、解答题：（共3小题，共56分）

9.（16分）已知?an?是各项均为正数的等比数列，且a50,a51是方程100lg2x?lg?100x? 的两个不同的解，求a1a2La100的值．

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10.（20分）在ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB.

uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）将BC,CA,AB的长分别记为a,b,c，证明：a2?2b2?3c2； （2）求cosC的最小值．

11.（20分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的方程为x2?y2?1．求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点?a,0?任意作两条互相垂直的直线l1与l2，若l1与双曲线C交于P,Q两点，l2与C交于R,S两点，则总有PQ?RS成立．

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加试

一、（40分）非负实数x1,x2,L,x2016和实数y1,y2,L,y2016满足： （1）xk2?yk2?1,k?1,2,L,2016； （2）y1?y2?L?y2016是奇数． 求x1?x2?L?x2016的最小值．

二、（40分）设n,k是正整数，且n是奇数．已知2n的不超过k的正约数的个数为奇数，证明：2n有一个约数d，满足k?d?2k.

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三、（50分）如图所示，ABCD是平行四边形，G是上，使得GP?PC,GQ?QC.证明：AG平分?PAQ.

ABD的重心，点P,Q在直线BDPDGABQ

四、（50分）设A是任意一个11元实数集合．令集合B??uv|u,v?A,u?v?.求B的元素个数的最小值．

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C

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2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案

一试

一、选择题：（每小题8分，共64分）

1.等比数列?an?的各项均为正数，且a1a3?a2a6?2a32?36,则a2?a4的值为 ． 答案：6．

解：由于36?a1a3?a2a6?2a32?a22?a42?2a2a4??a2?a4?,且a2?a4?0,故a2?a4?6. 另解：设等比数列的公比为q，则a2?a6?a1q?a1q5.又因 36?a1a3?a2a6?2a32?a1?a1q2?a1q?a1q5?2a1q2??a1q??2?a1q?a1q2332321112????aq???aq?aq???a22?a4?,2

而a2?a4?0，从而a2?a4?6.

2.设A??a|?1?a?2?，则平面点集B???x,y?|x,y?A,x?y?0?的面积为 ．

答案：7．

解：点集B如图中阴影部分所示，其面积为 S正方形MNPQ?SMRS1?3?3??2?2?7.

2

3.已知复数z满足z2?2z?z?z（z表示z的共轭复数），则z的所有可能值的积为 ．

答案：3．

解：设z?a?bi?a,b?R?.由z2?2z?z知， a2?b2?2abi?2a?2bi?a?bi,

比较虚、实部得a2?b2?a?0,2ab?3b?0.又由z?z知b?0，从而有

2a?3?0,即a??，进而b??a2?a??323. 2?33??33???i????i?3. 于是，满足条件的复数z的积为??22??22??????4.已知f?x?,g?x?均为定义在R上的函数，f?x?的图像关于直线x?1对称，g?x?的

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