2020高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲立体几何中的向量方法练习

2019年

【2019最新】精选高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲立体几何中的

向量方法练习

1.(2016·山东卷)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.

(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； (2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值. (1)证明 设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥OB，所以GI∥OB.

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.

因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.

(2)解 连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. 由题意得B(0，2，0)，

C(－2，0，0).过点F作FM垂直OB于点M，

所以FM＝＝3，可得F(0，，3). 故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3). 设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量. 由可得可得平面BCF的一个法向量m＝， 因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)， 所以cos〈m，n〉＝＝.

所以二面角F－BC－A的余弦值为.

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2.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45° ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.

(1)证明 法一 连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEF－ABC中，

AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形.

则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD， 又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH. 法二 在三棱台DEF－ABC中， 由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四边形BHFE为平行四边形，

可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD?平面ABED， 所以BD∥平面FGH.

(2)解 设AB＝2，则CF＝1.

在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形， 因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC， 所以DG⊥平面ABC.

在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点.

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所以AB＝BC，GB⊥GC， 因此GB，GC，GD两两垂直. 以G为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.

所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，D(0，0，1). 可得H，F(0，，1)， 故＝，＝(0，，1).

设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，

?x＋y＝0，则由可得?

?2y＋z＝0.可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，). 因为是平面ACFD的一个法向量，＝(，0，0). 所以cos〈，n〉＝＝＝.

所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°. 3.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，

∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 解 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC＝ED. 所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.又EB?平面PBE，CM?平面PBE. 所以CM∥平面PBE.

(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)法一 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，

DC，相交于点

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所以CD⊥平面PAD. 于是CD⊥PD.

从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°. 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.

设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.

作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0). 所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2). 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z). 由得设x＝2，解得n＝(2，－2，1).

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sin α＝＝＝. 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为. 法二 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.

所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角. 所以∠PDA＝45°.

设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH. 易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，于是CE⊥平面PAH.又CE?平面PCE，所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1， 所以AH＝.