【考点】全等三角形的判定与性质．
【 解析】由CD∥BE，可证得∠ACD=∠B，然后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≌△CBE，继而证得结论．
【解答】证明：∵C是线段AB的中点， ∴AC=CB， ∵CD∥BE， ∴∠ACD=∠B， 在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴∠D=∠E． 变式训练3：
（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣
2
，0）
的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由； （3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【 解析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度； （2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC?OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；
（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；
（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．
【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0， ∴x=3或x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1）， ∴BC=4， （2）∵A（﹣∴OA=
，0），B（0，3），C（0，﹣1），
，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB?OC， ∵∠AOC=∠BOA=90°， ∴△AOC∽△BOA， ∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠BAC=90°， ∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（﹣
，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣∵DB=DC，
x﹣1，
∴点D在线段BC的垂直平分线上， ∴D的纵坐标为1， ∴把y=1代入y=﹣∴x=﹣2
，
，1）， x﹣1，
∴D的坐标为（﹣2
（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E， 把B（0，3）和D（﹣2∴
，
，1）代入y=mx+n，
解得，
∴直线BD的解析式为：y=令y=0代入y=∴x=﹣3∴E（﹣3∴OE=3
， ，0）， ，
=
， x+3，
x+3，
∴tan∠BEC=
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°， ∴∠ABE=30°， 当PA=AB时，如图1，
此时，∠BEA=∠ABE=30°， ∴EA=AB， ∴P与E重合， ∴P的坐标为（﹣3
，0），
当PA=PB时，如图2， 此时，∠PAB=∠PBA=30°， ∵∠ABE=∠ABO=30°， ∴∠PAB=∠ABO， ∴PA∥BC， ∴∠PAO=90°， ∴点P的横坐标为﹣令x=﹣∴y=2， ∴P（﹣
，2）， 代入y=
， x+3，
当PB=AB时，如图3， ∴由勾股定理可求得：AB=2
，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1， 过点P1作P1F⊥x轴于点F， ∴P1B=AB=2∴EP1=6﹣2∴sin∠BEO=∴FP1=3﹣令y=3﹣∴x=﹣3， ∴P1（﹣3，3﹣
）， ， 代入y=
x+3，
， ，
，
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2， 过点P2作P2G⊥x轴于点G，
相关推荐：
loading