满分示范课——概率与统计
概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息，通过数据的筛选、分析构建相关模型特别是从图表、直方图、茎叶图中获取信息，利用图表信息进行数据分析．
解题的关键重在“辨”——辨型、辨析、求解要抓住几点：
(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等；
(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；
(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；
(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率；
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望、方差． ^
2
(6)会套用求b、K的公式，再作进一步求值与分析．
【典例】 (满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求
E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
[规范解答] (1)由题意知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C20p(1－p). 因此f′(p)＝C20[2p(1－p)－18p(1－p)]＝2C20p(1－p)(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，f(p)单调递增； 当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，f(p)单调递减． 所以f(p)的最大值点为p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1.
- 1 -
2
18
2
17
2
17
2
2
18
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，
X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490. ②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．
高考状元满分心得
1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全．如第(1)问求出概率f(p)，判断f′(p)的符号．第(2)问中明确X＝40＋25Y等．
2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问应写出f′(p)，第(2)问中写出E(X)、E(Y)的值，得出结论“应该对余下的产品作检验”得2分，否则不得分．
3．正确计算是满分的关键：如第(1)问正确求导，计算p0＝0.1，如第(2)问对数学期望
E(X)＝490，否则不得分．
[解题程序] 第一步：提炼信息，由相互独立事件概率求f(p)． 第二步：利用导数，求出f(p)的最大值点p0.
第三步：确定随机变量X与Y的关系，计算E(X)的值． 第四步：根据数据信息，作出决策判断． 第五步：检验反思，规范解题步骤． [跟踪训练]
1．(2019·六安一中模拟)国际奥委会于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
分类 年龄不大于50岁 年龄大于50岁 总计 支持 不支持 总计 80 100 10 70 (1)根据已有数据，把表格数据填写完整； (2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？ (3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求女教师人数的分布列与期望．
n（ad－bc）2
附：K＝，n＝a＋b＋c＋d.
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
- 2 -
P(K2＞k) k 解：(1)
分类 年龄不大于50岁 年龄大于50岁 总计 2
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 支持 20 10 30 不支持 60 10 70 总计 80 20 100 n（ad－bc）2(2)K＝＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
100×（200－600）
≈4.762＞3.841，
80×20×30×70
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关． (3)设选出女教师人数为X，
C31C3C263
则P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝＝，
C510C5105C3C23
P(X＝2)＝3＝.
C510随机变量X的分布列为：
12
3
21
2
X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 E(X)＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2. 2．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付之方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额/元 支付方式 仅使用A 仅使用B (0，1 000] 18人 10人 (1 000，2 000] 9人 14人 大于2 000 3人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；
- 3 -
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
解：(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为
40
＝0.4. 100
(2)X的所有可能值为0，1，2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．
9＋3由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，
30
P(D)＝
14＋1
＝0.6， 25
所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，
－
0.52.
－－－－
P(X＝0)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24. 所以X的分布列为
－
－
－
P(X＝1)＝P(CD∪CD)＝P(C)P(D)＋P(C)P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝
X P 0 0.24 1 0.52 2 0.24 故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. (3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化． 11则由上个月的样本数据得P(E)＝3＝.
C304 060答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付
金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
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事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
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