2019年全国各地中考数学压轴题按题型分类汇编(三)函数图像和系数综合(解析版)

2019全国各地中考压轴题（选择、填空）按题型整理：

三、函数图像与系数综合

1.（2019?鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0 ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0，

∴abc＞0，①错误；

②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0， ∵

，∴b＝﹣2a，

把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确； ③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0， ∴a+c＜﹣b，

∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，

∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，

∴a+b+c≤am2+mb+c，

即a+b≤m（am+b），所以④正确． 故选：C．

2.（2019?随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，

∴abc＜0，所以①正确； ∵b＝﹣2a， ∴a+b＝a﹣a＝0， ∵c＞0，

∴a+b+c＞0，所以②错误； ∵C（0，c），OA＝OC， ∴A（﹣c，0），

把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0， ∴ac﹣b+1＝0，所以③错误； ∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，

D．4个

∴B（2+c，0），

∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确； 故选：B．

3.（2019?荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论： ①abc＞0， ②3a+c＜0，

③a（m﹣1）+2b＞0，

④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形． 其中正确结论的序号为 ②③ ．

解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c， ∴对称轴x＝∴﹣＝m﹣1， ∵1＜m＜3， ∴ab＜0， ∵n＜0， ∴a＜0， ∴b＞0， ∵a﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣a＞0 ①abc＜0；错误； ②当x＝3时，y＜0，

∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确； ③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确； ④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c， ∴P（，b+1+

），

，

若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形， ∴AP的直线解析式的k＝1，

∴b+1+＝+1，

∴b＝﹣2， ∵b＞0，

∴不存在点P使△PAB为直角三角形． ④错误； 故答案为②③；

4.（2019?益阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（ ）

A．①②

B．①④

C．②③

D．②④

解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故①正确； ②∵对称轴x＜﹣1， ∴﹣

＜﹣1，a＞0，

∴b＜2a，

∴b﹣2a＜0，故②正确．

③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误． ④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误； 故选：A．

5.（2019?绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②2a﹣c＞0；③a+2b+4c＞0；④＜﹣4，正确的个数是（ ）

+

A．1

B．2

C．3

D．4

解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0，

∵抛物线对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，

∴abc＜0，所以①正确；

②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1， ∴

＜﹣

＜

，

∴1＜﹣当﹣

＜， ＜时，b＞﹣3a，

∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2a﹣c， ∴﹣2a﹣c＞﹣3a， ∴2a﹣c＞0，故②正确；

③当x＝时，y的值为a+b+c， 给a+b+c乘以4，即可化为a+2b+4c， ∵抛物线的对称轴在1＜﹣

＜，

∴x＝关于对称轴对称点的横坐标在和之间， 由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值， ∴a+2b+4c与0的关系不能确定，