第三章 数列与数学归纳法
知识结构 数学归纳法 应用 数列与正整数集合的关系 数列的定义 等差数列、等比数列 函数 定义 通项公式 等差(比)中项 前n项和公式 性质 “知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．
高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．
数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．
高考能力要求
1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．
3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 高考热点分析
纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．
从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的
3．1 数列的概念
知识要点 1．数列的概念
数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，??n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，?，an?，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项．
2．数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
n?1??a ann?? ?n?2??4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．
高考复习指导丛书 · 数学
例题讲练
【例1】 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．
⑴ －21?3，48163?5，－5?7，7?9?；
⑵ 1，2，6，13，23，36，?； ⑶ 1，1，2，2，3，3，?．
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项． ⑴ Sn＝3n－2 ⑵ Sn＝n2＋3n＋1
【例3】 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2) ⑵ a?11＝1，an＝an?1?3n (n≥2)
⑶ a1＝1，a1n＝
n?nan?1 (n≥2)
【例4】 已知函数f(x)＝2x－2－
x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n，求数列{an}通项公式．
44
小结归纳
1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．
2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．
3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，an?1a＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、
n迭代法（或换元法）．
基础训练题 一、选择题
1．某数列{an}的前四项为0，2，0，2，则以下各式：
① a2n＝
[1＋(－1)n] ② an＝1?(?1)n2 ③ a?n＝ ? 2(n为偶数)?0(n为奇数)
其中可作为{an}的通项公式的是 （ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
2． 函数f(x)满足f(n＋1)＝2f(n)?n2（n∈N*）且f(1)＝2，
则f(20)＝ （ ） A．95 B．97 C．105 D．192
3． （2005年山东高考）{an}是首项a1＝1，公差d＝3的
等差数列，如果an＝2005，则序号n等于 （ ） A．667 B．668
C．669 D．670
4． 已知数列{an}满足an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2)，且
aa1＝1，则5＝ （ ）
a3 A．
1513 B．
43 C．815
D．83
5． 已知数列3，3，15，?3(2n?1)，那么9是它的第几项 （ ） A．12 B．13
C．14 D．15
6． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n
个月内累积的需求量S（万件）近似地满足Snnn＝
90（21n－n2
－5）（n＝1，2，?，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ） A．5月，6月 B．6月，7月
C．7月，8月 D．8月，9月
二、填空题
7． 已知an＝
nn2?156第 项．
8． 已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝
n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
na(3?1)9． 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝1(n≥1)，
2且a4＝54，则a1的数值是 ． 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝
列{
n(n?1)(n?2)，则数
3（n∈N*），则数列{an}的最大项为
1}的前n项和Tn＝ ． an 提高训练题 14．已知an＝
三、解答题 11．（2002·天律）已知{an}是由非负整数组成的数列，满
足a1＝0，a2＝3，an+1·an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3，4，5?，求a3．
12．(2005年山东高考)已知数列{an}的首项a1＝5．前n项
和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）． (1) 证明数列{an＋1}是等比数列；
(2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋?＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)．
2an13．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该
an?2数列的通项公式． 知识要点
1．等差数列的定义： － ＝d（d为常数）． 2．等差数列的通项公式： ⑴ an＝a1＋ ×d
9n(n?1)(n∈N)，试问：数列{an}有没有最10n大项，如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．
15．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n，
n≥1．
(1)写出数列{an}的前3项a1，a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式．
3．2 等差数列
⑵ an＝am＋ ×d
3．等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ ．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ．
高考复习指导丛书 · 数学
5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R) ⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：
⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ． ⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列． 例题讲练
【例1】 在等差数列{an}中， (1)已知a15＝10，a45＝90，求a60； (2)已知S12＝84，S20＝460，求S28； (3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
【例2】 已知数列{aa2n}满足a1＝2a，an＝2a－a（nn?1≥2）．其中a是不为0的常数，令b1n＝
a． n?a⑴ 求证：数列{bn}是等差数列． ⑵ 求数列{an}的通项公式．
【例3】 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n
项和，已知S＝7，S75，TS715＝n为数列{nn}前n项和。
求Tn．
46
【例4】 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
小结归纳
1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)．
2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．
3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．
4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题． 基础训练题 一、选择题
1． 已知数列{an}满足：a1＝14，an＋1＝an－
23（n∈N*），则使an·an＋2<0成立的n的值是 （ ）
A．19 B．20
C．21 D．22 2． 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋?＋a101＝0，则有
（ ） A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
3． 已知数列{an}，an＝－2n＋25，当Sn达到最大值时，n
为 （ ） A．10 B．11
C．12 D．13
4． (2005年全国)如果a1、a2，?a8为各项都大于零的等
差数列，公差d≠0，则 （ ） A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
5． 等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列
中绝对值最小的一项为 （ ） A．a8 B．a9 C．a10 D．a11
6． 在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19
相关推荐：
loading