11111”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添?????n?2n?3n?n24加的项是 （ ）
A．12(k?1)
B．112k?1＋2k?2
C．12k?1＋12k?2－1k?1
D．11112k?1＋2k?2－k?1－k?2
5． 设f(n)＝1＋12?113???3n?1（n∈N*），那么
f(n?1)－f(n)＝ （ ）
A．1113n?2 B．3n＋3n?1
C．13n?1·11113n?2 D．3n＋3n?1＋3n?2
6． 设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线
的条数f(n＋1)等于 （ ） A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n－1
C．f(n)＋n D．f(n)＋n－2 二、填空题
7． 求证xn＋yn（n∈N*）被x＋y整除，当第二步假设n
＝2k－1命题成立时，进而需证明n＝ 时命题成立．
8． 用数学归纳法证明：1－11112?3?4??2n?1－
12n?1n?1?1n?2???12n，第一步应验证左式是 ，右式是 ．
9． 若f(n)＝1＋112?3???12n?1（n∈N*），则当n＝1
时，f(1)＝ ．
10．若数列{a1n}满足：an＋1＝1－a，且a1＝2，则
na2006＝ ．
三、解答题
11．试证Sn＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．
12．用数学归纳法证明：
1×4＋2×7＋3×10＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2
13．设a1n＝1＋2?13???1n（n∈N*），试证明：a1＋a2＋a3＋?＋an－1＝n（an－1），其中n≥2．
提高训练题
14．已知n≥2，n∈N*，求证：
(1?11113)(1?5)(1?7)?(1?2n?1)?122n?1 15．（2005年·重庆）数列{an}满足a1＝1且an＋1＝(1＋
高考复习指导丛书 · 数学
11)an＋n(n≥1)． 22n?n(1) 用数学归纳法证明：an≥2(n≥2)；
(2) 已知不等式ln(1＋x)＜x对x＞0成立，证明：
an＜e2(n≥1)其中无理数e＝2.71828?．
3．7 * 归纳、猜想、证明
知识要点
从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳——猜想——证明”．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究，认识发现规律的有效途径，也是培养创新思维能力的有效办法．这类题型是高考命题的热点之一．
例题讲练
2【例1】 设数列{an}满足an＋1＝an?nan?1，n＝
1,2,3,??
⑴ 当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式．
⑵ 当a1≥3时，证明对所有的n∈N*，有an≥n＋2．
【例2】 已知数列{an}满足Sn＝2n－an，（n∈N*），求出前四项，猜想出an的表达式，并证明．
56
【例3】 是否存在自然数m使f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数都能被整数m整除．若存在，求m最大值；若不存在，则说明理由．
2【例4】 数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满
31足an＝Sn＋＋2，其中n≥2．
Sn⑴ 求出S1、S2、S3、S4．
⑵ 猜想Sn的表达式，并证明你的猜想．
小结归纳
1．“归纳、猜想、证明”的思想方法实质上是由特殊到一般的认识事物的重要方法，是不完全归纳法与完全归纳法的结合使用．一般是通过观察、分析等手段，利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法（或其它方法）给出证明．
2．归纳猜想能培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视．此类问题分为归纳型问题和存在型问题．解归纳型问题，需从特殊情况入手，通过观
察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想．
基础训练题 一、选择题
1． 利用数学归纳法证明不等式“1＋
1112?3???2n?1＞n（n≥2，n∈N*2）”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了 （ ）
A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k
项
2． 观察下列所给式子：1＋1311522?2，22?32?3，1
＋122?11732?42?4，?，则可归纳出 （ ） A．1＋111n?122?32??n2?n B．1＋111222?32??n?1n2?n C．1＋111n?222?32??(n?1)2?n?1 D．1＋
1112n?122?32??n2?n?1 3． 已知数列
1111?2，2?3，3?4，?，1n(n?1)，经过计算S1、S2、S3，可由此推测Sn等于 （ ）
A．n2n?1 B．nn?1
C．1n?2n?1 D．12n?1
4． 如果命题p(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，
又若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有 （ ） A．正整数n成立
B．正偶数n成立 C．正奇数n成立
D．大于1的自然数n成立
5． 数列{a＝11n}满足a12，an＋1＝1－a，则a30等于（ ）
nA．
12 B．－1 C．2 D．3
6． 一机器狗每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机
器狗按前进2步，然后再后退1步的规律移动．若将此机器狗放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1单位长度，令P(n)表示第n秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是（ ） A．P(3)＝1 B．P(5)＝3
C．P(2002)＝667 D．P(2004) 二、填空题 7． 已知f(x)＝2x2，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*x?)， 则x2，x3，x4的值分别为 ，猜想xn＝ ． 8． 若给出下列式子：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝ 1＋2＋3，?，猜想第n个式子为 ． 9． 数列{an}满足a1＝1，an＝ 2a2*n?1?1(n∈N， n≥2)，猜想{an}的通项公式an＝ ． 10．已知A6＋?＋2n，B－ n＝2＋4＋n＝1＋2＋4＋?＋2n1 (n∈N*)，试猜想An与Bn的大小关系是 （不要求证明）． 三、解答题 11．已知数列 {an} 前n项和为Sn， 且a1＝1， Sn＝n2an， (n∈N* )． ⑴ 试求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式． ⑵ 证明你的猜想，并求an的表达式． 12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2 an＋1．请求出a2、 a3、a4，猜想{an}的通项公式并加以证明． 13．是否存在常数a、b，使得等式： 11?2?3＋12?3?4＋13?4?5＋? ＋1n(n?1)(n?2)＝an2?bn4(n?1)(n?2)对一切正整数n都 成立？并证明你的结论． 提高训练题 14．设数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对 于所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. ⑴ 写出数列{an}的前3项. ⑵ 求数列{an}的通项公式并写出推理过程． 高考复习指导丛书 · 数学 15．某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%， 因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量． ⑴ 求an的表达式． ⑵ 为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森 一、选择题 ＋ 1． 若数列{an}的前n项和公式为Sn＝log3(n1)，则a5等于 （ ） A．log5 C．log36 6719若b＝a，则该地区今a，972后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2＝0.30） 林木材量应不小于 单 元 测 试 正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻方对角线上数的和．右图就是一个3阶幻方，可知f(3)＝15，则f(4)等于 （ ） A．32 B．33 C．34 D．35 10．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到 2007年5年间更新市内现有全部出租车．若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为2002年底车辆数的(参考数据1.14＝1.46，1.15＝1.61) （ ） A．10% B．16.4% C．16.8% D．20% 二、填空题 11．设A和G分别是x、y的等差中项和等比中项，则x2 ＋y2＝ ． 12．(2005年·湖北)设等比数列{an}的公比为q，前n项和 为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为 ． 13．设{an}满足a1＝2，an＋1＝Sn＋n则数列{an}通项公式为 ． 22Sn14．数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，则这个数列 2Sn?1 6B．log35 D．log35 3f(n)?1，（n∈N*），则f(100)3等于 （ ） A．30 B．32 C．34 D．36 3． 在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 1a9－a11的值为 （ ） 3 A．14 B．15 C．16 D．17 4． 等比数列前n项和Sn＝2n－1，则前n项的平方和为 （ ） 1A．(2n－1)2 B．(2n－1)2 31C．4n－1 D．(4n－1) 35． 在等比数列{an}中，a3和a5是二次方程x2＋kx＋5＝0 的两个根，则a2a4a6的值为 （ ） 2． 若f(1)＝3，f(n＋1)＝ A．?55 B．55 C．－55 D．25 6． 在一个数列中，若每一项与其后一项的积为同一个常 数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为“公积”。若数列{an}为等积数列，且a10＝2，公积为6，则a1·a5·a9·?a2005等于（ ） 502501 A．2 B．2 502 C．3 D．3501 7． (2006年辽宁卷)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和 为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于（ ） n＋1 A．2－2 B．3n C．2n D．3n－1 8． 实数a、b，5a，7，3b，?c成等差数列，且a＋b＋ 5a＋7＋3b＋?＋c＝2500，则a、b、c的值分别为 （ ） A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，3，99 D．1，3，9 2 9． 将n个正整数1，2，3，?，n2填入n×n个方格中， 使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个 的前n项和Sn＝ ． 15．若{an}是递增数列，且对任意自然数n，an＝n2＋?n 恒成立，则实数?的取值范围是 ． 三、解答题 16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝Sn－1＋4Sn?1＋4（n≥2），且a1＝4，an＞0． (1) 求证：数列{Sn}是一个等差数列； (2) 求数列{an}的通项公式． 58 8 1 6 3 5 7
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