高等代数2复习 试卷A
第一大题 填空题（每题2分 共16分）
1. t满足 时
二次型f(x1,x2,x3)?t(x12?x22?x32)?4x1x2?4x2x3?4x1x3是正定的. 2. 在
的过渡矩阵为 .
3. 数域P上全体n阶矩阵组成的线性空间是 维的.
?123??0?1?24. 线性变换?在某基下的矩阵为A????, 向量??002???F3中,从基?1?(
基,0),1,0?2,?0),?3?(0到,1(?1,??1?,??2??1?在此
基下的坐标
?1??1为???, 那么?(?)的坐标是 . ?1???5. 设A是正交矩阵，且|A|?0，则|A?1|2013= . 6. 用g(x)?x?2除f(x)?3x4?10x2?5x?4，
商式为 ；余式为 . 7. 设
p(x)与q(x)都是不可约多项式，已知p(x)|q(x)，则
p(x)? . 8. 设?,?正交, ?为正交变换, 那么(?4?(?),5?(?))? .
第二大题 判断题（每题2分，共20分） 1. 所
有
的
n维线性空间均同构.
( )
2. 欧氏空间V的正交变换在任何一组标准正交基下的矩阵都
是
正
交
矩
阵
.
( )
3. 线性空间V的子空间V1和V2的维数分别是3和4，那么V1?V2的维
数
为
7.
( )
4. 同一线性变换在不同基下的矩阵是合同的. ( ) 5.
有
理
数
域
是
最
小
的
数
域
.
6. 任何一个实对称矩阵都合同于单位矩阵
E.
( )
(
7. 欧氏空间V的正交变换的属于不同的特征值的特征向量是彼
此
正
交
的
.
( )
8. 设?1,?2,???,?n是正交向量组，则它们一定线性无关. ( )
9. 两个合同的实对称矩阵一定相似. ( )
10. n维欧氏空间中的不同基的度量矩阵是合同的. ( )
第三大题 计算题（每题10分 共40分）
1.设?1?(1,1,0,1),?2?(1,0,0,1),?3?(1,1,?1,1);?1?(1,2,0,1),?2?(0,1,1,0).由
?i,i?1,2,3生成的子空间记为W1，由?j,j?1,2生成的子空间记为
W2.求W1?W2，W1W2的维数和一组基.
2. W是欧式空间R5的一个子空间。已知W?L(?1,?2,?3)，其中
)
?1?(1,1,1,2,1)，?2?(1,0,0,1,?2)，?3??(2,1,?1,0,2)求W的正交补W?。
3. 已知欧式空间
?2?A??1?2?1102??0，求V??5?V中对于基?1,?2,?3的度量矩阵是
的一组标准正交基。
4. 用可逆的线性替换化二次型
f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x2x3?4x1x3
222为标准形，并写出所用的线性替换. 第四大题 证明题(每题12分 共24分)
1. 设A是n维欧式空间的线性变换，?是单位向量，定义
A????2(?,?)?，证明：（1）?1是A的一个特征值；
（2）A是正交变换，这样的正交变换称为镜面反
射；
（3）A是第二类的。
2. 设
x1?x2?W1与
W2分别是齐次方程组
x1?x2??xn?0 与 上
?xn的解空间，证明则Fn?W1?W2，其中Fn是数域F
n维向量空间。
参考答案A
第一大题 填空题（每题2分，共16分）
?111??6????20?11n1. t?2； 2. ? ； 3. ； 4. 5. -1； ????3?；?001??2????? 6. 3x3?6x2?2x?1 和?6； 7. cq(x),c?0； 8. 0. 第二大题 判断题（每题2分，共20分）
1. √ 2. √ 3. × 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √
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