【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口
A
开始到出口
B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4
名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．
(1) 求甲经过点C的概率；
(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23. (本小题满分10分)
平面上有2n(n≥3，n∈N)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T. (1) 若n＝3，求T的最小值； (2) 若n≥4，求证：T≥2C3n.
9
2019届高三年级第二次模拟考试(南京、盐城)
数学参考答案
3231.{x|1 10. (－2，3) 11.±21 12.2 13.??－9，? 3????14. 2＋1 2 3 9.4＋43 15. (1) 由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0， 所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.(2分) 又因为sin2α＋cos2α＝1， 所以(λ2－1)sin2α＝0.(4分) 因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0. π 2 又因为λ>0，所以λ＝1.(6分) (2) 由(1)知a＝(cosα，sinα)． 45 4 由a·b＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝， 5 即cos(α－β)＝ 4 .(8分) 5 π2 因为0<α<β<，所以－π2 <α－β<0， 所以sin(α－β)＝－ 3 1－cos2（α－β）＝－.(10分) 5 34 所以tan(α－β)＝sin（α－β） ＝－，(12分) cos（α－β） 因此tanα＝tan(α－β＋β)＝ tan（α－β）＋tanβ1 ＝.(14分) 1－tan（α－β）tanβ2 16. (1) 连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1， 所以四边形AA1B1B是平行四边形． 又因为D是AB1的中点， 10 所以D也是BA1的中点．(2分) 在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C. 平面ACC1A1， 平面ACC1A1， 又因为 所以DE∥平面ACC1A1.(6分) (2) 由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1， 所以BC1⊥DE.(8分) 又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，平面ADE，所以BC1⊥平面ADE. 又因为 平面ADE，所以AE⊥BC1.(10分) 在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点， 所以AE⊥BC.(12分) 因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B， BC1，平面BCC1B1， 所以AE⊥平面BCC1B1.(14分) 17.过点O作OH垂直于AB，垂足为H. 在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α， 所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.(4分) 由图可知，点P处的观众离点O最远．(5分) 在三角形OAP中，由余弦定理可知 2π?＋αOP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos???(7分) 3???? ＝400＋(40cosα)2－2×20×40cosα·(－ 13cosα－sinα) 22＝400(6cos2α＋23sinαcosα＋1) 3sin2α＋4) ＝400(3cos2α＋ ＝800 π?3sin??2α＋?＋1600.(10分) 3????π?ππ?，所以当2α＝，即α＝时， 3?612? 3＋1600， 3＋20.(12分) 因为α∈??0， ? ? (OP2)max＝800 即OPmax＝20 11 因为203＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．(13分) 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分) ?c＝?18. (1) 依题意得a??a＝? 所以b2＝a2－c2＝1， 2?c＝1，解得? ? ?a＝2，?2， ，2所以椭圆C的方程为x22 ＋y2＝1.(2分) (2) 解法一：设直线的方程为y＝k(x－2)， 代入椭圆C的方程，消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 因为直线l交椭圆C于两点， 所以Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)>0， 解得－ 22 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8k2 ，x1x2＝1＋2k2 8k2－2. ＋12k2 ①设AB的中点为M(x0，y0)， x1＋x22 4k2 2k 则x0＝ ＝，y0＝k(x0－2)＝－ 1＋2k21＋2k2 .(6分) 当k≠0时，因为QA＝QB，所以QM⊥l， － 即kQM·k＝ 2k －0 1＋2k24k21＋2k2 －m ·k＝－1. 解得m＝ 2k2 1＋2k2 .(8分) 当k＝0时，可得m＝0，符合m＝ 2k2 1＋2k2 2k2 . 因此m＝ 1＋2k2 . 由0≤k2＝ m 2（1－m）2 <1 ，解得0≤m< 1 .(10分) 2 12
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